第三章 · 进退加减循规而行卷首语向东走三步再向西走五步生活里的数量变化从来不是简单叠加而是正负相互抵消。3.4 九章古法异名相消午后的晚风褪去了正午的燥热夕阳斜斜掠过奶茶店的玻璃窗将店内的桌椅、单据镀上一层温柔的暖金。经过昨日一整场账本实操打磨林默对有理数加减混合、去括号运算已然脱胎换骨。不再是看到括号、分数就慌乱迟疑的模样此刻的他正熟练地帮母亲整理剩余的零散账单笔尖起落沉稳遇到嵌套括号、正负混杂的算式总能先依托数轴位移的底层逻辑校准符号再分步化简计算每一步都笃定利落。他还记得昨天真切的成长从地砖行走具象推演到吃透去括号的本质终于跳出了死记硬背的误区学会用一套通用逻辑解决所有加减问题。只是他心里清楚自己的进步仅限于刷题实操对知识点的根源、古今的关联依旧一知半解和擅长应试的苏晚、思虑通透的程远相比还差着很远的距离。就在他核对完最后一笔账目合上草稿本时门口风铃轻轻叮当作响。苏晚背着书包站在门口身旁的程远身姿清挺两人刚好放学路过便径直进店来找他。苏晚把书包往椅背上一搭目光第一时间就落在摊开的演算草稿上语气带着几分惊讶“我还以为你今天还要被括号符号折腾没想到这么复杂的混合运算步骤全都写得清清楚楚。”林默有些不好意思地挠挠头将草稿本推到两人面前“昨天在地上走地砖那一遍实在印象太深现在做题我不会上来就套法则心里先脑补一遍进退抵消基本不会踩符号的坑。不过有件事我一直想不通之前我们提过《九章算术》的正负术古时候既没有数轴也没有相反数古人到底是怎么算正负数加减的”苏晚低头扫过草稿上的算式计算结果她扫一眼就能判断对错可被问到古籍古法她指尖攥住笔杆眉头微微皱起语气略显窘迫“课本的习题我全都练熟了考试碰到加减、去括号我基本不会丢分。但书上只给现代的计算方法这种古代数学史料我没仔细读过。题目没考过我也就没有深究过说不出其中的门道。”一旁的程远闻言缓缓从书包里抽出一本泛黄的精简版《九章算术》译注本轻轻放在桌面书页翻动的轻响落在安静的店内。“你们刚刚把现代有理数加减的逻辑摸透刚好可以回头看一看古人是怎么处理盈亏得失的。两套表述看着差别很大内核其实相通。”三人围坐在收银台的木桌旁暖黄的灯光落在古朴的文字上一场古今数学的对照研学就此展开。程远指尖轻点书页上的核心口诀字句清晰地解读“《九章算术》中的正负术是中国最早的有理数加减法则核心两句便是异名相消同名相益正无入负之负无入正之。这短短十六字涵盖了古人所有正负数的加减规则。”林默立刻坐直身体飞快地翻开笔记本笔尖悬在纸面。如今的他不再看见陌生概念就心生畏难愿意沉下心琢磨但古文对他依旧晦涩。盯着两行文言看了半天他困惑地抬眼“每个字我都认识连在一起就看不懂了。这些话分别对应我们现在做的哪一类计算题”苏晚凑过来逐字默读口诀大脑本能地往考试题型上靠拢“异名、同名……大概就是正负同号异号吧。我大概能猜做题的结果可是没法把古文和课本法则完整对上也讲不明白两者之间到底哪里一样。”程远耐心放缓语速以两人熟悉的现代有理数加减法则、数轴位移、去括号逻辑为参照逐条拆解对照把晦涩的古法口诀翻译成通俗的数学逻辑古今对照、一一对应清晰易懂。“首先是异名相消。”程远在草稿纸写下一行古法释义“异名就是正负相反的两个数相消就是相互抵消。对应我们今天学的异号两数相加。”他边写边举例推演“比如算式5(−3)5(-3)5(−3)现代算法是取绝对值较大的数的符号用大绝对值减小绝对值结果为222。古人没有绝对值概念只用盈亏、进退区分正数为盈、负数为亏一盈一亏相互抵消剩余的数量就是结果。”林默眼睛一亮瞬间联想到昨天的账本与地砖推演脱口而出“这不就是奶茶店盈利遇上亏损就像我昨天在地砖上面往前走几步又往后退几步两者互相抵掉剩下多少就是多少原来是这个意思”“接着是同名相益。”程远继续讲解“同名就是符号相同的数相益就是相互增益、累加。对应现代同号两数相加同正、同负数值直接叠加符号保持不变。”“比如(−4)(−2)(-4)(-2)(−4)(−2)现代法则是同号相加、绝对值相加、符号不变结果为−6-6−6。古人的思路更直白两次亏损、两次向西退步数量叠加亏欠更多本质和我们现在的计算逻辑一模一样。”林默拿起笔自己随手写了两组小算式一边写一边小声用盈亏的说法复述不需要旁人提醒就能把意思对应到位。紧接着程远解读后半段核心口诀“正无入负之负无入正之这是古人的减法逻辑专门对应我们昨天吃透的‘减负得正、减正得负’也是去括号法则的古法原型。”他细致拆解“无入就是原本基数为0。正无入负之就是0减去正数结果为负数负无入正之就是0减去负数结果为正数。对应现代算式0−(a)−a0-(a)-a0−(a)−a、0−(−a)a0-(-a)a0−(−a)a完美契合a−ba(−b)a-ba(-b)a−ba(−b)的减法核心法则。”讲解到此苏晚想起2.5翻阅《九章算术》时看到的红黑算筹图忽然问“那红黑算筹和正负术是一起用的吗”表2“记数”与“运算”分层结构表层面解决的问题古代工具/方法现代对应示例记数一个数本身是正是负红黑算筹红为正黑为负正负号、−收入8石记红筹 → 8支出4石记黑筹 → −4运算正负数如何相加、相减正负术同名相益、异名相消等有理数加减法则去括号、相反数等5 (−3)古法“异名相消”现代“异号相加”关系两者共同构成完整的计算体系红黑算筹表示“有什么”正负术规定“怎么算”程远摇了摇头在草稿纸上画了一根竖线代表算筹“红黑算筹是记数工具像现在的正负号用来区分一个数本身是正是负。正负术是运算规则像现在的加减法则告诉你怎么把这些数加在一起、减在一起。两件事不同一种是‘怎么写’一种是‘怎么算’。”苏晚把这句话记在了笔记里划了一条线线的上方写“记数”线的下方写“运算”。隔着一道分隔线它们正安静地躺在同一页纸的上下两侧。程远继续归纳特意梳理出古今算法核心区别与关联帮两人彻底理清脉络“二者的核心关联高度统一不管是古人的同名、异名还是现代的同号、异号不管是古人的盈亏抵消还是现代的相反数累加本质都是相反量相互抵消、相同量相互叠加。古今有理数加减底层模型完全一致都是对现实中进退、盈亏、得失的数量总结。”而核心区别清晰分明第一表述形式不同。古人依托生活场景用“同名、异名、相消、相益”具象描述无专业数学符号现代数学用正负号、绝对值、公式法则精准定义体系更规范。第二计算工具不同。古人依靠红黑算筹实操演算直观具象现代依靠数轴、公式、去括号运算简洁高效可适配复杂混合算式。第三适用范围不同。古法仅用于账目、粮食、土地等实际生活核算现代法则延伸出运算律、去括号化简、分数小数混合运算适配所有数学题型。林默听到这里眉头微微皱起“那古人如果碰到三个数连加连减呢比如18−24−(−12)18-24-(-12)18−24−(−12)——他们也要一步一步来”程远说“可以一步一步来。先抵消一个再抵消下一个一步步往下走最后停在结余的位置。”林默想了想没有继续追问。他低头翻开笔记本在程远讲过的对照表旁边画了三行简短的对应——“同名相益同号相加”、“异名相消异号相加”、“正无入负之0减正得负”。他在每一行对应的位置用自己的语言标注了日常场景的版本没有完全使用程远的口诀原文。然后他合上笔记本抬头说“我想自己试一遍——用古法思路走一遍混合算式再和现代方法对一下。”他拿起笔在草稿纸上写下18−24−(−12)18-24-(-12)18−24−(−12)。他先按现代方法运算去括号化简为18−241218-241218−2412分组得666随后他用古法思路重新解读将正数看作盈利负数看作亏损先叠加盈利再抵消亏损最后抵消往期欠款最终结余为6。他在两种方法之间画了一条连线连接处没有标注任何注释只是让它们被同一条线固定在同一页上。两种方法算出的结果完全一致林默看着纸面上并排出现的两组计算过程没有添加额外的评价。表3古法口诀与现代计算步骤对照表以 18−24−(−12) 为例现代计算步骤对应古法思路原式18 − 24 − (−12)初始结余18支出24抵消12元欠款第1步去括号18 − 24 12正负术减去负数等于加上正数对应“负无入正之”第2步同号相加(18 12) (−24)同名相益盈与盈叠加亏单独记第3步异号相加30 (−24)异名相消30盈与24亏相互抵消最终结果6最终结余6一旁的苏晚也低头看着那条线。她刚在笔记里划了一条线区分“记数”和“运算”现在林默的纸上也有了一条线把“古今”隔开又连上。苏晚重新审视了古人仅凭生活具象就完成正负加减而自己长久以来只会背公式、刷题型——她终于突破了固化的应试思维真正理解了加减运算的底层溯源学会了融会贯通林默从曾经畏惧符号、犹豫迟疑到如今能自主推演、溯源原理稳稳吃透了有理数加减全部知识点彻底摆脱了基础易错的短板。唯有程远始终通透淡然默默见证着两人的成长。本节总结古法核心口诀《九章算术》正负术异名相消异号两数相加正负抵消同名相益同号两数相加数值叠加正无入负之、负无入正之零减正为负、零减负为正对应减法反向法则。古今数学核心关联古法盈亏、进退的运算逻辑与现代有理数正负加减、相反数抵消、去括号法则完全互通核心都是相反量抵消、相同量叠加古今数学一脉相承。古今数学核心区别古法无规范符号依托生活具象场景与算筹实操表述通俗、场景局限现代有完整正负符号、绝对值、运算律体系公式规范、逻辑严谨适配所有复杂混合运算。“记数”与“运算”是两个不同层面记数解决“怎么表示一个数”红黑算筹运算解决“怎么对这个数做加减”正负术两者互为补充共同构成完整的计算体系。练习与思考A组 · 古法对口基础练用《九章算术》“同名相益、异名相消”的思路口头解释下列算式的计算逻辑并算出结果1(−3.2)(−4)(-3.2)(-4)(−3.2)(−4)27(−512)7\left(-5\frac{1}{2}\right)7(−521​)3−46.8-46.8−46.8把下列古法口诀翻译成现代算式1“异名相消”对应______2“同名相益”对应______3“正无入负之”对应______B组 · 古今对照计算题先用现代有理数加减法则计算再用古法盈亏思路验证结果112−18.412-18.412−18.42−13−(−713)-13-\left(-7\frac{1}{3}\right)−13−(−731​)30−(−9.6)0-(-9.6)0−(−9.6)林默在验证混合算式18−24−(−12)18-24-(-12)18−24−(−12)时分别用现代方法和古法思路计算。请写出他的两种计算过程并标注每一步对应哪一句古法口诀如“异名相消”“同名相益”。C组 · 综合化简应用题结合古今通用的正负抵消逻辑化简计算下列混合算式可运用运算律简算128−36(−12)−(−18)28-36(-12)-(-18)28−36(−12)−(−18)2−24.51312−(−6.5)812-24.513\frac{1}{2}-(-6.5)8\frac{1}{2}−24.51321​−(−6.5)821​苏晚在笔记中区分了“记数”和“运算”两个层面。请用自己的话解释红黑算筹解决的是什么问题正负术解决的是什么问题D组 · 理解探究题结合本节所学简要回答古人没有数轴和相反数概念为什么依旧能精准完成正负加减运算古今算法最大的优势分别是什么章末伏笔晚风穿堂而过拂动桌上的古籍书页与演算草稿。第三章有理数的加减运算至此彻底收尾从操场的数轴进退、跑道反向减法到奶茶店的账本实操、括号化简再到今日溯源千年的九章古法整套知识体系层层递进、完整闭环。林默彻底攻克了有理数加减的所有难点不再畏惧符号、不再混淆规则真正实现了从懵懂迟疑到笃定通透的蜕变苏晚也突破了应试局限学会溯源思考、举一反三。而三人都隐约察觉正负的进退抵消、加减的反向转化只是有理数运算的基础。当加减的规律彻底吃透全新的运算逻辑已然临近。