开环响应1. 为什么要研究“开环响应”虽然我们通常使用运放构建闭环电路带有反馈但反馈网络的稳定性完全取决于运放本身的开环特性。如果开环响应设计不当高频信号在反馈回路中可能会产生额外的相移导致负反馈变成正反馈从而引发电路自激振荡。为了从根本上防止振荡设计者通常会故意压低运放的高频增益2. 直流增益的计算在极低频率下内部的补偿电容相当于开路不起作用。此时的增益仅由各级放大器的参数决定跨导 (gm1​)第一级晶体管将输入电压转换为电流的能力。等效电阻 (Req1​)中间节点的阻抗。第二级增益 (a2​)第二级放大器的电压放大倍数。总增益​。对于741运放计算得出其直流增益高达 200V/mV即 106dB这意味着它能将微弱的输入信号放大几十万倍。3. 核心机制米勒补偿 (Miller Compensation)这是现代运放设计中最经典、最巧妙的技巧目的是在不占用太多物理面积的情况下实现极大的等效电容。问题为了把低频极点压低到 5Hz根据公式需要 16.3nF 的电容。在70年代的芯片制造工艺下在硅片上集成如此巨大的电容会占用极大的晶圆面积成本极高。解决方案利用米勒效应。设计者在第二级的输入端和输出端之间并联了一个较小的电容 Cc​仅 30pF。由于第二级本身具有很大的增益a2​544根据米勒效应跨接在这个增益级两端的电容反映到输入端的等效容值会被放大 (1a2​) 倍。结果等效电容 Ceq1​(1544)×30pF≈16.3nF。意义用一个微小的物理电容30pF实现了原本需要巨大电容16.3nF才能达到的极点降低效果极大地节省了芯片面积。4. 稳定性的物理意义“附加的高频极点”和“相移达到 −180∘”风险这正是著名的巴克豪森准则Barkhausen Criterion在负反馈系统中的体现相移条件当信号频率很高时运放内部的寄生电容会导致输出信号相对于输入信号产生相位滞后。如果总相移达到了 −180∘原本的负反馈连接就会变成正反馈。幅度条件在正反馈的同时如果此时的环路增益仍然大于或等于1即输出能量足够大电路就会持续放大自身的噪声和扰动从而产生振荡。741的安全设计741的设计者通过将主极点设在极低的 5Hz确保在相位达到 −180∘ 之前信号的增益已经被衰减到了 1 以下即 ∣AF∣1。这样即使发生了正反馈输出也无法维持振荡从而保证了运放的绝对稳定。单极点系统开环增益运算放大器Op-Amp最核心的频率特性单极点响应模型、增益带宽积GBP利用波特图直观地分析环路增益。1. 单极点系统与频率响应式 4.3 - 4.6现实中为了稳定性运放通常被设计成“单极点系统”即在波特图上只有一处明显的转折。数学模型用复频率 s 表示的公式描述了这种特性。a0​ 是直流增益非常大如 105ω0​ 是极点频率。s 代表复频率a0​ 为开环直流增益−ω0​ 为 s 域极点。或者我们可以用频率 f 表示直流增益即j 为虚数单位(j2−1)fb​ω0​/(2π) 是开环 −3dB 频率也称为开环带宽。幅值和相位可由波特图表现低频段 (f≪fb​)增益平坦等于 a0​。转折频率 (ffb​)增益下降 3dB相位滞后 45°。这个 fb​ 被称为开环带宽。高频段 (f≫fb​)增益以-20dB/十倍频​ 的斜率直线下降相位趋近 -90°。2. 增益带宽积 (GBP) 与单位增益频率 ft​这是运放选型时最重要的指标。定义当频率升高到使得开环增益 ∣a∣ 降为 1即 0dB时对应的频率称为单位增益频率 (ft​)。公式因为单极点系统的增益随频率反比下降所以 ft​a0​×fb​。这个乘积 a0​×fb​ 是一个常数被称为增益带宽积 (GBP)。物理意义这意味着运放的带宽是和直流增益成反比的。增益越高带宽越窄反之带宽越宽增益越低。文中举例741运放的 ft​ 典型值是 1MHz。如果你把它当 1000 倍放大器用1000V/V它的带宽只有 1MHz/10001kHz。如果你把它当 1 倍比较器用带宽就是 1MHz。3. 为什么 ft​ 比 a0​,fb​ 更可靠在芯片制造过程中晶体管的参数如跨导 gm​会有偏差。a0​ 和 fb​ 难测a0​直流增益非常高精确测量很难fb​ 又太小如 5Hz受寄生电容影响大。ft​ 更稳定公式推导表明。其中 gm​跨导主要由偏置电流 IA​ 决定而 Cc​ 是设计师故意加入的补偿电容。这两个参数在制造时非常稳定且可预测。因此芯片手册上的 ft​或 GBP比 a0​ 更值得信赖。4. 环路增益 T 的图形化分析这是判断反馈电路是否振荡的核心方法。环路增益 T等于“开环增益 a”乘以“反馈系数 β”即 Ta⋅β。图解技巧画一条 a开环增益的曲线单极点下降线。画一条 1/β 的水平线因为 β 通常由电阻分压网络决定是常数所以 1/β 是一条平线。交叉频率 fc​当 a 曲线下降并与 1/β 线相交时交点频率 fc​ 就是闭环带宽。在这个频率以下∣a∣∣1/β∣即 ∣T∣1负反馈生效电路工作正常接近理想特性。稳定性判据电路是否振荡不看 ft​而是看交叉点 fc​。如果在 fc​ 处相位滞后没有达到 -180°即有足够的相位裕度电路就是稳定的。如果相位滞后到了 -180° 且增益还大于 1就会振荡。闭环响应负反馈在放大器设计中最核心的两个作用降低增益和展宽带宽。1. 核心概念误差函数 D(jf)环路增益 T 依赖于频率将会使闭环响应 A 也依赖于频率即使把 Aideal​ 设计成与频率无关例如纯电阻反馈也是如此。为了直观理解我们假设可以忽略直通的器件同时将 A(jf) 写成一种直观的形式称为误差函数。D(jf) 衡量了增益 A(jf) 与理想值的差值。A(jf)这是电路实际的增益随频率变化。Aideal​这是你设计的理想目标增益比如设定为 100 倍。D(jf)这是误差函数。它代表了“实际增益偏离理想增益的程度”。2. 负反馈的“等价交换”原理增益与带宽D(jf) 与 1∠0∘ 的偏差程度用两个参数来表示分别为幅值误差可见该误差函数为低通函数式中D0​ 为直流量−3dB 频率为我们将环路增益用一般化的形式表达出来即显然负反馈把增益从 a0​ 降到了 A0​/(1a0​β)但是带宽却增大了相同的量从 fb​ 变为 fB​。这种对性能有改善作用的性质称为扩频带技术构成了负反馈的另一个重要优点。牺牲大带宽开环状态运放本身的带宽 fb​ 非常窄比如 5Hz。换取高精度和大带宽闭环状态当你引入负反馈后电路的实际带宽变成了 fB​。书中推导出 fB​≈a0​βfb​βft​。这里 ft​ 是开环增益降到 1 时的频率单位增益带宽。结论反馈越深β 越大闭环带宽 fB​ 就越宽。代价为了实现这个宽带宽运放牺牲了一部分开环增益。最终闭环低频增益 A0​ 约等于 1/β即反馈系数的倒数。3. 如何画波特图实用技巧找交点在运放的开环增益曲线∣a∣上画一条水平线代表反馈系数倒数∣1/β∣。这两条线的交点横坐标就是闭环系统的带宽 fB​。画曲线知道了 fB​ 后你就可以直接画出闭环增益的波特图低频部分是平坦的等于你的理想增益 Aideal​到了 fB​ 处开始以 -20dB/十倍频下降。总结这段内容从理论上严谨地证明了在引入负反馈后放大器的带宽被扩展了 1a0​β 倍。这是一个“用增益换带宽”的过程是现代模拟电路设计的基石。同相放大器和反向放大器所示的同相放大器的环路增益如式(1.76)所示同时我们可以得到反馈因子为βT/a或者是1. 反馈因子β的物理意义反馈因子βT/a描述“输出信号有多少比例反馈到输入端”。在同相放大器中输出电压Vo​经R1​、R2​分压后反馈到反相端的电压为理想运放“虚短”反相端电压≈同相端电压Vi​因此。式是考虑运放非理想参数rd​开环输出电阻ro​运放输出电阻的精确表达式但因R1​,R2​≪rd​且R1​,R2​≫ro​这些寄生电阻的影响可忽略故近似为式。2. 闭环增益与带宽的近似闭环低频增益A0​≈1R2​/R1​同相放大器的经典增益公式由“虚短”“虚断”推导。闭环带宽​​。结合增益公式可得增益带宽积A0​⋅fB​≈ft​与非反相放大器的GBPinv​≈ft​一致。3. 增益与带宽的“权衡”Trade-off增益和带宽的乘积近似等于运放的单位增益带宽ft​常数因此若需高增益如A0​1000则带宽必须窄fB​1kHz若需宽带宽如fB​10kHz则增益必须降低A0​100。4. 电压跟随器的极端情况当R2​0或R1​→∞时电路为电压跟随器闭环增益A0​1最低可能值闭环带宽fB​ft​最宽可能值如741的1MHz。这是运放的“品质因数”——ft​越高运放的高速性能越好。5. 波特图的绘制逻辑图4.5b的波特图直观展示了“增益-带宽权衡”开环增益∣a∣低频为a0​在fb​开环带宽处开始衰减反馈线1R2​/R1​水平直线代表反馈强度的基准闭环增益∣A∣低频为A0​1R2​/R1​在fB​闭环带宽处开始衰减交点意义∣a∣与1R2​/R1​的交点频率为fB​因∣a(fB​)∣1/β1R2​/R1​此时环路增益T1闭环带宽由该点决定。三、核心结论同相放大器的增益带宽积近似恒定GBP≈ft​增益和带宽呈反比关系——提升增益必须牺牲带宽反之亦然。电压跟随器是这一关系的极端体现增益最低、带宽最宽。核心差异为什么反相放大器的增益曲线会“下移”同相放大器理想闭环增益是 1R2​/R1​通常大于或等于 1。反相放大器理想闭环增益是 −R2​/R1​其绝对值通常小于同相结构的 1R2​/R1​除非 R1​→∞。结论在波特图上反相放大器的低频增益线 ∣A0​∣ 在垂直方向上比同相放大器的 1R2​/R1​ 线要低。公式推导fB​≈ft​/(1R2​/R1​)闭环带宽 fB​ 由开环增益 ∣a∣ 与反馈系数倒数 ∣1/β∣ 的交点决定。对于反相放大器反馈系数 β 的推导与同相放大器一致即 βZ1​/(Z1​Z2​)其中 Z1​R1​,Z2​R2​。因此交点频率满足 ∣a(fB​)∣1/β1R2​/R1​。利用运放的单极点模型 ∣a(f)∣a0​/(1f/ft​)≈ft​/f当 f 较高时可得增益带宽积GBP的重新定义极端情况分析单位增益下的巨大差异同相单位增益 (β1)fB​ft​。运放的全部带宽都用来实现单位增益。反相单位增益 (R1​R2​⟹β0.5)fB​ft​/2。运放的带宽被“浪费”了一半。这是因为反相放大器的输入端存在共模电压。虽然理想情况下反相端虚地电位为0但在实际高频下运放的共模抑制比CMRR下降输入端的共模信号会干扰输出等效于降低了有效的反馈深度导致带宽减半。高频区的汇合现象在极高频率下开环增益 ∣a∣ 变得非常小小于 1。此时闭环增益 ∣A∣ 不再受反馈网络控制而是由运放的输出电阻和负载决定的残差增益。在波特图中表现为 ∣A∣ 曲线最终与 ∣a∣ 曲线重合。----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------将 741 运算放大器与两个电阻 R1​2kΩR2​18kΩ 组成一个同相放大器。求 (1) 1% 幅度误差带宽 (2) 5° 相位误差带宽。即分别当 ∣ϵm​∣⩽0.01 和 ∣ϵϕ​∣⩽5∘ 时的频率范围。解(1) 由已知目标找出频率 f 的范围使得实际增益与理想增益的幅度误差不超过 1%即 ∣ϵm​∣≤0.01。结论要使幅度误差小于 1%输入信号的频率必须低于 14.25 kHz。这远小于 3dB 带宽100kHz因为 3dB 带宽对应的误差已经是 29.3% 了。(2)目标找出频率 f 的范围使得输出信号相对于输入信号的相位滞后不超过 5°即 ∣ϵϕ​∣≤5∘。指标要求最大可用频率占 fB​ 的比例幅度误差≤ 1%14.25 kHz​约 14%相位误差≤ 5°8.75 kHz​约 8.75%-3dB 带宽误差约 29%100 kHz100%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------利用 741 运算放大器设计一个增益为 60dB 的音频放大器。(2) 画出它的幅值图。(3) 求出它的实际带宽。目标设计一个音频放大器增益需要达到 60dB即 1031000 倍且带宽 f⩾20kHz。单级瓶颈741 运放的单位增益带宽 ft​≈1MHz如果只用一级放大要实现 1000 倍增益根据增益带宽积恒定A×fft​其带宽只能是 1MHz/10001kHz。1kHz≪20kHz单级完全无法满足音频要求。核心策略等分增益以实现带宽最大化既然单级做 1000 倍带宽不够我们可以把 1000 倍拆分成两级来做。数学原理假设有两个相同的放大器级联增益分别为 A1​,A2​带宽分别为 f1​,f2​。总增益 AA1​×A2​。总带宽受限于较弱的一级。为了使总带宽最大化必须让两级的带宽相等f1​f2​。设每级增益为 x则总增益 x21000解得 x1000​≈31.62即 30dB。结果每一级的增益降为 31.62 倍此时每一级的带宽扩展到了 1MHz/31.62≈31.62kHz。验证31.62kHz20kHz满足要求这就是“平分增益带宽相乘”的技巧。3. 波特图的绘制技巧对数坐标的应用因为总增益 AA1​×A2​在分贝dB世界里乘法变成了加法∣A∣dB​∣A1​∣dB​∣A2​∣dB​。又因为两级完全相同∣A1​∣∣A2​∣所以 ∣A∣dB​2×∣A1​∣dB​。作图方法只要画出第一级的幅频特性曲线然后将纵坐标数值翻倍或者曲线整体上移一倍的分贝数就得到了总系统的幅频特性曲线。4. 实际 -3dB 带宽的计算推导这里推导了一个容易误解的概念两级相同放大器级联后的 -3dB 带宽不是单级带宽的 2 倍而是 2​ 倍。定义系统的 -3dB 点是总增益下降到直流增益的 1/2​ 处。直流总增益 A0​1000。目标增益。单级状态在频率 f 处单级增益的幅值公式为。已知单级 -3dB 频率 fb1​31.62kHz。总增益公式​​。求解 fB​令总增益等于目标值化简得未理解I-V 转换器和 V-I 转换器I-V转换器电流转电压电路原理图 4.8a 展示了一个典型的跨阻放大器Transresistance Amplifier。输入电流 Ii​ 流过反馈电阻 R。由于运放处于“虚短”和“虚断”状态反相端为虚地0V。输出电压 Vo​ 由电流在电阻上产生Vo​−Ii​⋅R。反馈系数 β反馈系数 β 定义为反馈网络分得的电压与输出电压之比。在电路中反馈网络就是电阻 R 与运放的开环输出电阻 ro​ 串联。根据分压原理反馈电压​​。因此得出。频率响应分析图 4.8b开环增益 ∣a∣运放自身的开环增益随频率升高而下降在增益带宽积 ft​ 处穿过 0dB 线。闭环增益 ∣A∣根据闭环增益公式。当频率很高时 ∣a∣ 很小分母趋近于 1闭环增益趋近于 10dB。这与图 b 下方的曲线吻合表明该电路的高频响应非常好主要受限于运放的增益带宽积。低频增益题目提到 (Ai​)DC​≈1/β。代入 β 的公 式。这说明直流增益略大于 1主要由电阻比值决定。V-I 转换器电压转电流电路原理图 4.9a 展示了一个电压控制电流源VCCS。输入电压 Vi​ 通过反馈网络控制输出电流 Io​。负载接在输出端。反馈系数 β这里的反馈系数计算稍微复杂。反馈信号是流过 ro​ 和 R 并联组合的压降。并联电阻表示为 ro​//R。反馈系数即为该并联电阻占总反馈路径并联电阻 运放输入电阻 ri​的比例​。频率响应分析分析与 I-V 转换器类似。闭环增益最终也会趋近于 10dB。不同之处在于低频特性。因为反馈网络包含了输入电阻 ri​根据公式。这意味着其低频增益受 ri​ 影响可能与 1 有较大偏差。3. 核心总结这两页书的核心在于教导读者如何将前面学过的一般反馈理论应用到具体的基本转换器电路中。通过分析反馈系数 β可以预测电路在不同频率下的表现即波特图的形状。对于 I-V 转换器重点在于理解其高频响应受 ft​ 限制而对于 V-I 转换器还需要额外考虑输入阻抗 ri​ 对低频特性的影响。---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(1) 使用同相放大器并使 R1​R2​10kΩ 来构成图 4.3b 所示的电路算出 A0​ 和 fB​。(2) 使 R1​R2​1MΩ重新计算 A0​ 和 fB​。对比 (1) 问的结果并作出评价。rd1MΩro100Ω目标计算不同电阻值下同相放大器的 A0​ 和 fB​并对比结果。关键概念理想闭环增益​ A0ideal​1R2​/R1​单位增益带宽积​ ft​a0​fb​a0​ 为开环增益fb​ 为运放带宽实际带宽​ fB​βft​β 为环路反馈系数反馈系数​ b1/A0ideal​理论值但实际 β 可能因负载效应偏离 b。R1​R2​10kΩ​步骤 1计算理想闭环增益 A0ideal​​目的确定放大器的理论增益。公式A0ideal​1R2​/R1​110/102.0 V/V。步骤 2计算环路反馈系数 β​目的修正实际电路中因非理想因素导致的反馈偏差。方法代入式得到 β0.495接近理论值 b0.5负载效应可忽略。步骤 3计算实际带宽 fB​​目的结合运放开环特性与反馈系数求得有效工作带宽。已知ft​1MHz由式 ft​a0​fb​105×10 给出。公式fB​βft​0.495×1MHz≈495kHz。结论A0​≈2.0 V/VfB​≈500kHz。问题 (2) 解答R1​R2​1MΩ​步骤 1理想闭环增益 A0ideal​​结果仍为 2.0 V/V仅由电阻比值决定与阻值大小无关。步骤 2环路反馈系数 β​计算代入式得到 β0.333显著低于理论值 b0.5。原因大电阻引入严重负载效应如输入偏置电流、寄生电容等实际反馈能力下降。步骤 3实际带宽 fB​​公式fB​βft​0.333×1MHz333kHz。结论A0​≈2.0 V/V但 fB​ 下降至 333kHz。对比分析与评价​参数情况 (1)情况 (2)变化原因A0​2.0 V/V2.0 V/V理想增益仅由 R2​/R1​ 决定β0.4950.333大电阻导致负载效应增强fB​≈500kHz333kHzβ 减小使带宽降低核心结论当使用大电阻时必须考虑其负载效应对反馈系数的削弱作用虽然理想增益 A0ideal​ 不受电阻值影响但实际带宽 fB​ 会因 β 下降而减小区分理论反馈系数 b恒为 1/A0ideal​与实际环路反馈系数 β受电路非理想性影响的重要性。总结​本例通过对比两种电阻配置下的性能差异揭示了实际电路设计中需权衡的因素高增益要求可能依赖大电阻但会牺牲带宽忽略负载效应会导致理论分析与实际结果的显著偏差。---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------使用反相放大器并使 R1​R2​500Ω 来构成图 所示的电路。使用 PSpice 软件仿真画出 a1/β 和 A 的曲线。手算验证并讨论所有重要的特征包括渐近线转折点。反相放大器在考虑运放非理想参数输入电阻 rd​、输出电阻 ro​时的频率响应特性特别是“直通效应”Feedthrough对高频响应的影响。电路设计与低频响应电路结构这是一个标准的反相放大器R1​R2​500Ω。理想增益Aideal​−R2​/R1​−1。即在低频时增益为 1 倍0 dB。为何用小电阻 (500Ω)通常运放的输出电阻 ro​ 较小约 100Ω而输入电阻 rd​ 较大约1MΩ。如果 R1​ 很大例如 1MΩ那么 ro​ 会与 R1​ 并联显著改变反馈系数。使用小电阻 R1​ 可以尽量减小 ro​ 的影响让电路更接近理想状态从而凸显出另一种高频效应——直通效应。反馈系数 β 与闭环带宽 fB​计算 β考虑运放输入电阻 rd​ 后流入反相端的电流分为两路一路通过 R1​ 来自输入另一路通过 rd​ 来自输出。根据基尔霍夫电流定律KCL推导出的精确反馈系数公式为代入数值rd​1MΩ,ro​100Ω计算得出 β≈0.4544。(注理想情况下 β 应为 0.5这里因为 rd​ 的存在反馈系数变小了)。带宽 fB​运放的开环增益 a 下降到 1 时的频率称为单位增益带宽 ft​本例中 ft​1MHz由图中 ∣a∣ 曲线与 0dB 线交点得出。闭环带宽 fB​ 由 β 决定fB​β×ft​0.4544×1MHz≈454kHz核心难点高频响应与“直通效应” (afl​)现象在低频时闭环增益 ∣A∣ 跟随 1/β 的渐近线。但当频率极高时运放的开环增益 ∣a∣ 已经降得很低无法维持负反馈。直通效应Feedthrough此时输入信号不再被运放放大而是通过杂散电容如 R1​ 和 R2​ 之间的寄生电容或运放内部的寄生电容直接从输入端“漏”到输出端。这种现象称为直通。高频渐近线 afl​在极高频率下反馈回路相当于断开。输出信号主要由 R2​ 和 R1​ 的分压比决定但方向是同相的因为是通过电容耦合过去的。公式afl​β×(ro​/R1​)。物理意义ro​/R1​ 是一个分压比表示输出电阻 ro​ 对信号的分压衰减。计算结果afl​0.4544×(100/500)≈0.0909V/V 即 -20.8 dB。在波特图图 b中最右侧的高频水平线就是 afl​。零点 fZ​ 的引入由于存在直通效应闭环增益 ∣A∣ 的高频渐近线不再是 0 dB而是 afl​。为了保持系统的增益带宽积GBP特性或系统函数的连续性增益曲线在越过主极点 fB​ 后会以 -20dB/dec 的斜率下降直到与 afl​ 相交。交点即为新的转折点零点 fZ​。在这个频率之后增益不再下降而是变平停留在 afl​ 的水平。计算验证利用几何关系或增益等式 A0​⋅fB​afl​⋅fZ​可以算出零点位置这与波特图中 afl​ 线与 ∣A∣ 线交点对应的频率完全一致。总结这个例子告诉我们在设计高频放大器时如果频率超过了闭环带宽 fB​放大器不仅不会完全失去信号反而可能会出现由寄生电容引起的直通现象导致输出信号变成一个微小的、与输入同相的信号。这在精密信号处理和高频电路设计中是需要极力避免的。