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凯莱定理Cayley’s Theorem是抽象代数中非常经典且优美的一个基本定理。它直观地表明群在代数结构上一定与某个置换群相同并且揭示了一种构造任意群到置换群的同构映射的构造方法。凯莱定理 (Cayley’s Theorem)任意一个群GGG都同构于一个置换群。特别地如果GGG是一个阶数为nnn的有限群则GGG同构于对称群SnS_nSn的某一个子群。证明第一步定义左正则表示对于群GGG中的任意一个元素g∈Gg \in Gg∈G构造映射λg:G→G\lambda_g: G \to Gλg:G→Gλg(x)g⋅x(∀x∈G)\lambda_g(x) g \cdot x \quad (\forall x \in G)λg(x)g⋅x(∀x∈G)它是一个双射若λg(x)λg(y)\lambda_g(x) \lambda_g(y)λg(x)λg(y)即gxgygx gygxgy由群的左消去律可知xyx yxy单射对于任意y∈Gy \in Gy∈G取xg−1yx g^{-1}yxg−1y就有λg(x)y\lambda_g(x) yλg(x)y满射。因此λg\lambda_gλg是集合GGG上的一个置换Permutation。称映射λg\lambda_{g}λg为ggg引起的左正则表示。第二步构造置换群把所有由GGG中元素引起的左正则表示收集起来构成一个集合Gˉ{λg∣g∈G}\bar{G} \{ \lambda_g \mid g \in G \}Gˉ{λg∣g∈G}可以验证Gˉ\bar{G}Gˉ在映射复合运算∘\circ∘下构成一个群它是集合GGG上全置换群Sym(G)\text{Sym}(G)Sym(G)的一个子群封闭性λg∘λhλgh\lambda_g \circ \lambda_h \lambda_{gh}λg∘λhλgh单位元λe\lambda_eλe恒等映射逆元(λg)−1λg−1(\lambda_g)^{-1} \lambda_{g^{-1}}(λg)−1λg−1第三步构造GGG到Gˉ\bar{G}Gˉ的同构构造一个映射ϕ:G→Gˉ\phi: G \to \bar{G}ϕ:G→Gˉ使得ϕ(g)λg\phi(g) \lambda_gϕ(g)λg是同态ϕ(gh)λghλg∘λhϕ(g)∘ϕ(h)\phi(gh) \lambda_{gh} \lambda_g \circ \lambda_h \phi(g) \circ \phi(h)ϕ(gh)λghλg∘λhϕ(g)∘ϕ(h)。是单射同态核为{e}\{e\}{e}若ϕ(g)ϕ(h)\phi(g) \phi(h)ϕ(g)ϕ(h)则λgλh\lambda_g \lambda_hλgλh即对任意x∈Gx \in Gx∈G有gxhxgx hxgxhx特别地取xex exe即得ghg hgh。是满射根据Gˉ\bar{G}Gˉ的定义显然满射。由此证明了G≅GˉG \cong \bar{G}G≅Gˉ即群GGG同构于置换群Gˉ\bar{G}Gˉ。具体例子以 Klein 4-群V4V_4V4为例设V4{e,a,b,c}V_4 \{e, a, b, c\}V4{e,a,b,c}其运算规则为每个元素的平方都是单位元eee且abc,bca,cababc, bca, cababc,bca,cab。我们将元素编号e→1,a→2,b→3,c→4e \to 1, a \to 2, b \to 3, c \to 4e→1,a→2,b→3,c→4。观察各个元素的左乘作用λe\lambda_eλe把(1,2,3,4)(1, 2, 3, 4)(1,2,3,4)映射到(1,2,3,4)(1, 2, 3, 4)(1,2,3,4)⟹ \implies⟹对应的置换为(1)(1)(1)恒等置换。λa\lambda_aλaa⋅ea(2)a \cdot e a (2)a⋅ea(2)a⋅ae(1)a \cdot a e (1)a⋅ae(1)a⋅bc(4)a \cdot b c (4)a⋅bc(4)a⋅cb(3)a \cdot c b (3)a⋅cb(3)⟹ \implies⟹对应的置换为(1 2)(3 4)(1\ 2)(3\ 4)(12)(34)。λb\lambda_bλbb⋅eb(3)b \cdot e b (3)b⋅eb(3)b⋅ac(4)b \cdot a c (4)b⋅ac(4)b⋅be(1)b \cdot b e (1)b⋅be(1)b⋅ca(2)b \cdot c a (2)b⋅ca(2)⟹ \implies⟹对应的置换为(1 3)(2 4)(1\ 3)(2\ 4)(13)(24)。λc\lambda_cλc⟹ \implies⟹对应的置换为(1 4)(2 3)(1\ 4)(2\ 3)(14)(23)。于是V4V_4V4就完全同构于S4S_4S4的子群{(1),(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)}\{ (1), (1\ 2)(3\ 4), (1\ 3)(2\ 4), (1\ 4)(2\ 3) \}{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}凯莱定理的局限/为什么我们还需要抽象群尽管每个nnn阶群都同构于SnS_nSn的子群但SnS_nSn的阶数是n!n!n!增长极其迅速。例如对于一个仅有100100100个元素的群映射到的对称群是S100S_{100}S100其阶数高达100!≈9.3×10157100! \approx 9.3 \times 10^{157}100!≈9.3×10157。在这么庞大的空间里研究一个 100 阶的群往往非常笨重因此直接研究抽象群的结构如子群、正规子群、商群等要高效得多。 【抽象代数概念速查】Cayley‘s Theorem 凯莱定理
凯莱定理Cayley’s Theorem是抽象代数中非常经典且优美的一个基本定理。它直观地表明群在代数结构上一定与某个置换群相同并且揭示了一种构造任意群到置换群的同构映射的构造方法。凯莱定理 (Cayley’s Theorem)任意一个群GGG都同构于一个置换群。特别地如果GGG是一个阶数为nnn的有限群则GGG同构于对称群SnS_nSn的某一个子群。证明第一步定义左正则表示对于群GGG中的任意一个元素g∈Gg \in Gg∈G构造映射λg:G→G\lambda_g: G \to Gλg:G→Gλg(x)g⋅x(∀x∈G)\lambda_g(x) g \cdot x \quad (\forall x \in G)λg(x)g⋅x(∀x∈G)它是一个双射若λg(x)λg(y)\lambda_g(x) \lambda_g(y)λg(x)λg(y)即gxgygx gygxgy由群的左消去律可知xyx yxy单射对于任意y∈Gy \in Gy∈G取xg−1yx g^{-1}yxg−1y就有λg(x)y\lambda_g(x) yλg(x)y满射。因此λg\lambda_gλg是集合GGG上的一个置换Permutation。称映射λg\lambda_{g}λg为ggg引起的左正则表示。第二步构造置换群把所有由GGG中元素引起的左正则表示收集起来构成一个集合Gˉ{λg∣g∈G}\bar{G} \{ \lambda_g \mid g \in G \}Gˉ{λg∣g∈G}可以验证Gˉ\bar{G}Gˉ在映射复合运算∘\circ∘下构成一个群它是集合GGG上全置换群Sym(G)\text{Sym}(G)Sym(G)的一个子群封闭性λg∘λhλgh\lambda_g \circ \lambda_h \lambda_{gh}λg∘λhλgh单位元λe\lambda_eλe恒等映射逆元(λg)−1λg−1(\lambda_g)^{-1} \lambda_{g^{-1}}(λg)−1λg−1第三步构造GGG到Gˉ\bar{G}Gˉ的同构构造一个映射ϕ:G→Gˉ\phi: G \to \bar{G}ϕ:G→Gˉ使得ϕ(g)λg\phi(g) \lambda_gϕ(g)λg是同态ϕ(gh)λghλg∘λhϕ(g)∘ϕ(h)\phi(gh) \lambda_{gh} \lambda_g \circ \lambda_h \phi(g) \circ \phi(h)ϕ(gh)λghλg∘λhϕ(g)∘ϕ(h)。是单射同态核为{e}\{e\}{e}若ϕ(g)ϕ(h)\phi(g) \phi(h)ϕ(g)ϕ(h)则λgλh\lambda_g \lambda_hλgλh即对任意x∈Gx \in Gx∈G有gxhxgx hxgxhx特别地取xex exe即得ghg hgh。是满射根据Gˉ\bar{G}Gˉ的定义显然满射。由此证明了G≅GˉG \cong \bar{G}G≅Gˉ即群GGG同构于置换群Gˉ\bar{G}Gˉ。具体例子以 Klein 4-群V4V_4V4为例设V4{e,a,b,c}V_4 \{e, a, b, c\}V4{e,a,b,c}其运算规则为每个元素的平方都是单位元eee且abc,bca,cababc, bca, cababc,bca,cab。我们将元素编号e→1,a→2,b→3,c→4e \to 1, a \to 2, b \to 3, c \to 4e→1,a→2,b→3,c→4。观察各个元素的左乘作用λe\lambda_eλe把(1,2,3,4)(1, 2, 3, 4)(1,2,3,4)映射到(1,2,3,4)(1, 2, 3, 4)(1,2,3,4)⟹ \implies⟹对应的置换为(1)(1)(1)恒等置换。λa\lambda_aλaa⋅ea(2)a \cdot e a (2)a⋅ea(2)a⋅ae(1)a \cdot a e (1)a⋅ae(1)a⋅bc(4)a \cdot b c (4)a⋅bc(4)a⋅cb(3)a \cdot c b (3)a⋅cb(3)⟹ \implies⟹对应的置换为(1 2)(3 4)(1\ 2)(3\ 4)(12)(34)。λb\lambda_bλbb⋅eb(3)b \cdot e b (3)b⋅eb(3)b⋅ac(4)b \cdot a c (4)b⋅ac(4)b⋅be(1)b \cdot b e (1)b⋅be(1)b⋅ca(2)b \cdot c a (2)b⋅ca(2)⟹ \implies⟹对应的置换为(1 3)(2 4)(1\ 3)(2\ 4)(13)(24)。λc\lambda_cλc⟹ \implies⟹对应的置换为(1 4)(2 3)(1\ 4)(2\ 3)(14)(23)。于是V4V_4V4就完全同构于S4S_4S4的子群{(1),(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)}\{ (1), (1\ 2)(3\ 4), (1\ 3)(2\ 4), (1\ 4)(2\ 3) \}{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}凯莱定理的局限/为什么我们还需要抽象群尽管每个nnn阶群都同构于SnS_nSn的子群但SnS_nSn的阶数是n!n!n!增长极其迅速。例如对于一个仅有100100100个元素的群映射到的对称群是S100S_{100}S100其阶数高达100!≈9.3×10157100! \approx 9.3 \times 10^{157}100!≈9.3×10157。在这么庞大的空间里研究一个 100 阶的群往往非常笨重因此直接研究抽象群的结构如子群、正规子群、商群等要高效得多。