简介北航《测试技术》期末复习.pdf是一份围绕北航测试技术课程整理的期末复习资料面向正在准备期末考试的学生也适合自学该课程者快速把握重点。内容按章节组织从测试系统的构成与CAT、虚拟测试系统讲起深入傅立叶级数与傅立叶变换、频谱图绘制、采样定理再覆盖三种误差及其性质、静态特性指标、系统动态特性分析、一阶与二阶系统计算以及电阻应变片、压电传感器、热电偶、码盘、光栅、感应同步器等传感与测量电路知识。包体为1个PDF文件、225KB便于下载后打印或使用电子设备阅读按章节展开的复习要点和典型例题可直接对照查漏补缺。目前已有154人学习下载适合考前短期冲刺也可帮助系统梳理测试技术的理论脉络。1. 测试技术复习主线从非电量测量到信号分析闭环北航《测试技术》这门课的知识点表面上看是傅立叶级数、误差分类、传感器定律、电桥平衡、RC滤波各管一段实际上它们串在同一条链路上传感器把非电量变成电量电桥和运放完成信号调理滤波和调制解调负责去噪与搬频傅立叶变换和FFT做频域分析采样定理决定整套参数选取。期末复习只要抓住这条链路去理解每个公式的落点就不容易陷入死记硬背。这份复习资料面向的是正在备考的学生同时对于做测试测量、数据采集和设备状态监测的工程师也是一份可以对照查漏的清单——很多实际项目里踩过的坑比如频率分辨力算错、组桥方式选错根源都在这些基础概念上。2. 傅立叶工具链级数展开、频谱计算与采样定理2.1 周期信号展开从余弦级数到复指数级数周期信号的傅立叶级数有两种写法。余弦形直接体现各谐波分量的幅值与相位f(t)a0/2Σn1∞(an cos nω0t bn sin nω0t)复指数形更紧凑也是后续DFT的数学基础f(t)Σn-∞∞ Cn e^(jnω0t)两种形式通过欧拉公式互相转换做题时必备的数学能力是正余弦函数和复指数函数的积分以及对欧拉公式的灵活运用。实际做展开计算时三个技巧最管用积分区间取任意一个周期即可通常取关于原点对称的区间来利用奇偶性函数为奇函数时余弦项系数 an0只算正弦项函数为偶函数时正弦项系数 bn0只算余弦项。这个结论配合波形联想记忆比直接背系数公式有效率得多。以方波为例它只有奇数次谐波有非零幅值。这个结论如果死记容易忘用代码画一次幅频谱就忘不掉了import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def square_wave_spectrum(N50, A1.0): # 方波傅立叶级数系数Cn 2A/(nπ)·sin(nπ/2) n np.arange(1, N 1) amp np.where(n % 2 1, 2 * A / (n * np.pi), 0) plt.stem(n, amp) plt.xlabel(谐波次数 n) plt.ylabel(|Cn|) plt.title(方波幅频谱) plt.grid(True) plt.show() square_wave_spectrum()代码里np.where(n % 2 1, ...)直接把偶数次谐波幅值置零A是方波幅值N是计算的谐波次数上限。实际做题时方波、三角波、锯齿波这三种典型信号的展开式建议至少完整推导一遍推导过程就是对欧拉公式和分部积分的集中训练考试时遇到变体题也能从容应对。参考资料里的例 2.1 和例 2.2 都属于这类基础展开答案要落实到幅频谱和相频谱图上而不是只写出系数表达式。2.2 非周期信号傅立叶变换与典型函数非周期信号用傅立叶变换处理正变换和反变换构成一对。复习时需要熟练掌握四组典型变换脉冲函数 δ(t) 的傅立叶变换是常数 1直流信号的变换是 2πδ(ω)余弦函数 cos(ω0t) 的变换是 π[δ(ω-ω0)δ(ωω0)]复指数 e^(jω0t) 的变换是 2πδ(ω-ω0)。这几组变换建议直接记住结果后面讲幅值调制解调、系统频响分析都会反复用到考试时不给你推导时间。傅立叶变换的主要性质里频移性和时域卷积是高频考点。频移性说的是时域信号乘以复指数频域上整个频谱搬移一个位置这就是调制的理论基础时域卷积定理说的是两个信号时域卷积等于频域相乘系统输出等于输入频谱乘以频率响应函数这一结论就是从这里来的。表 2.3 里列出的常用变换对和性质至少要把「信号→变换结果→典型应用」三列对应清楚。自相关函数和自功率谱密度函数这一组概念考试常以简答或判断形式出现。自相关函数 R_x(τ) 描述信号自身在不同时刻的相似程度它与自功率谱密度函数互为傅立叶变换对自功率谱又可分为单边谱和双边谱两者之间是 2 倍关系。Parseval 定理在这里的意义是时域里对信号平方积分得到的能量等于频域里对功率谱积分的结果乘以 1/2π。考试中如果遇到能量计算的题用这个定理可以绕开复杂的时域积分。2.3 采样定理与FFT参数选取采样定理给出的判断标准并不复杂对于带宽有限的连续信号采样频率必须满足 fs ≥ 2fm 才能在频域不产生混叠。实际工程里真正容易出错的是采样参数之间的连带关系复习资料里有一组公式专门讲这个时域参数频域含义关键公式采样间隔 Ts频域分析带宽fs 1/Ts ≥ 2fm截断长度 T0谱线间隔频率分辨力Δf 1/T0采样点数 N分辨力与计算规模T0 N·TsΔf fs/NN 的取值FFT 计算约束N 取 2 的整数次幂这组关系在实验和课程设计里非常实用。比如 fs1000HzN1024 时频率分辨力 Δf 1000/1024 ≈ 0.977Hz也就是说频谱上能区分的最小频率间隔不到 1Hz。如果需要更高分辨力保持采样频率不变、增加采样点数 N 即可这就是 FFT 参数选取的核心思路。注意这里有一个常见误区采样定理解决的是「会不会混叠」而频率分辨力解决的是「两个相邻频率能不能分开」两者是不同层面的约束不能混为一谈。提示题目里如果同时给了最高分析频率和最小分辨频率先分别算出 fs 和 T0再取 N 为大于 fs·T0 的 2 的整数次幂最后反回来校验实际分辨力是否满足要求。3. 系统动态特性传递函数、频响函数与不失真条件3.1 一阶与二阶系统的标准传函与频响特性系统动态特性分析的基本数学工具是运动微分方程、拉氏变换和傅氏变换三者的转化关系。系统先建立运动微分方程对时间域做拉氏变换得到传递函数 H(s)把 s 替换成 jω 得到频响函数 H(jω)对脉冲输入信号做拉氏变换得到脉冲响应函数 h(t)h(t) 的傅氏变换也是频响函数。这四个量之间的换算关系在复习资料里有清晰的图示建议自己画一遍微分方程→拉氏变换→传递函数→令 sjω→频响函数微分方程→傅氏变换→频响函数脉冲响应→傅氏变换→频响函数。画清楚这张图动态特性相关的题目就成功了一半。一阶系统标准传函为H(s) 1/(1sτ)其中 τ 是时间常数。令 sjω幅频特性和相频特性可以分别写出来。二阶系统标准传函为H(s) ωn²/(s²2ξωn sωn²)其中 ωn 是固有频率ξ 是阻尼比。考试要求写出它们的频响函数、幅频特性、相频特性表达式这没有捷径建议动手画一次伯德图来辅助记忆import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def bode_first_order(tau0.01): # 一阶系统 H(jω) 1/(1jωτ) f np.logspace(1, 3, 500) w 2 * np.pi * f H 1 / (1 1j * w * tau) fig, (ax1, ax2) plt.subplots(2, 1, figsize(8, 6)) ax1.semilogx(f, 20 * np.log10(np.abs(H))) ax1.set_ylabel(幅值 (dB)) ax1.grid(True) ax2.semilogx(f, -np.degrees(np.arctan2(w * tau, 1))) ax2.set_xlabel(频率 (Hz)) ax2.set_ylabel(相位 (度)) ax2.grid(True) plt.show() bode_first_order()这段代码画出一阶系统在 τ0.01s 时的幅频和相频曲线。tau越大转折频率越低系统通带越窄20*log10把幅值换算成分贝arctan2直接算出相位滞后角度。图上可以清楚看到转折频率点约 1/(2πτ)之后幅值以每十倍频程 20dB 的速率衰减这个特征频率常被出题人用来反推时间常数计算时注意 ω 与 f 不要搞混。3.2 频率响应函数与稳态输出计算频率响应函数反映系统对正弦激励的稳态响应幅频特性等于输出幅值除以输入幅值是频率的函数相频特性等于输出相位减去输入相位也是频率的函数。对简谐信号激励输出包含瞬态和稳态两个分量频响函数描述的是稳态部分不能反映过渡过程这一点考试常以概念题出现。计算稳态输出时一阶系统有一个直接可用的结论y(t) (A·S/√(1(ωτ)²))·sin(ωt - arctan(ωτ))其中 A 是输入幅值S 是系统灵敏度。这个公式解决三类问题已知系统参数和信号频率求输出幅值和相位已知幅值衰减或相位滞后反推系统时间常数已知系统参数和测量误差限求可测信号的最高频率。复习资料里的题 3-6、3-7、3-10 就是这三种情况的具体演算。做题时先明确已知量和未知量把公式拆成幅值和相位两个独立方程分别求解。常见错误是直接把相位写成 -ωτ实际是 -arctan(ωτ)只有在 ωτ 很小的时候两者才近似相等。取值时注意一致化ω 是角频率代入前先把 f 换算成 2πf。3.3 不失真测量条件与欠阻尼系统参数测定不失真测量需要同时满足两个条件幅频特性是常数相频特性与频率成线性关系。也就是说系统对各个频率分量等幅放大、等比例滞后输出波形只是输入的放大和延时不发生形态改变。一阶系统在低频段近似满足这两个条件所以实际测量中要控制被测信号频率落在系统通带以内。对于二阶测量装置设计上推荐取 ξ0.7ω≤0.4ωn。这个组合下幅频特性工作在平直段相频特性工作在近似直线段失真最小。如果阻尼比偏小幅频特性在固有频率附近会出现谐振峰阻尼比偏大则高频衰减提前平直段变窄。欠阻尼二阶系统动态参数的实验测定使用阶跃响应法。给系统施加阶跃激励记录输出波形的超调量和振荡周期由超调量反算阻尼比 ξ由振荡周期计算固有频率 ωn。这个方法的工程价值在于不需要专门的高精度激振设备一个阶跃信号加一块数据采集卡就能完成参数辨识。提示记录波形时至少保留两个完整的振荡周期超调量取第一个峰值超出稳态值的百分比振荡周期取相邻两个同向峰值之间的时间间隔算出的 ωn 误差在工程上可以控制在 5% 以内。4. 传感器选型与电桥组桥从应变片到压电等效电路4.1 三类常用传感器的工作原理与工程约束传感器的两个基本作用一是感知被测的非电量二是把它转换成便于处理的电量。按被测参量分类有力、位移、温度、加速度等类型按变换原理分类有电阻式、电容式、电感式、压电式、光电式等。考试对这个知识点的考查方式是给出一个测量对象要求选择合适的传感器并说明理由所以复习时抓住每一类传感器「敏感机理—等效电路—频率特性—关键参数」这条线。电阻应变片的灵敏系数定义为(dR/R)/(dL/L) K应变片贴在弹性元件上弹性元件受力产生机械应变应变片阻值随之变化。实际测量时应变片电阻变化量很小题目 4-13 这类计算题的本质就是把机械应变换算成电阻变化率再用桥路把电阻变化转成电压输出。灵敏系数 K 是应变片的核心参数通常在 2 左右它由材料性质决定与应变片尺寸无关。压电式传感器利用压电效应把机械能转换成电荷信号等效电路可以看成一个电荷源并联一个电容。它工作在较高频段时输出稳定频率特性有明确要求测量回路的时间常数 R·C 越大低频响应越好电荷泄漏越慢。因此压电传感器配接的前置放大器输入阻抗要足够高这是工程选型时容易被忽略的一点。热电偶则是利用热电效应复习资料把它类比成干电池图四个基本定律里最常考的是中间温度定律它是补偿导线法的理论依据考试可能要求用定律解释实际测温中的误差补偿过程。4.2 电桥输出电压、相对电压灵敏度与组桥规则电桥是把电阻变化转换成电压输出的核心电路。四臂应变片组桥时输出电压表达式为Δu (U/4)·(ΔR1/R1 - ΔR2/R2 ΔR3/R3 - ΔR4/R4)电压灵敏度是输出对电阻变化率的偏导全桥接法下等于桥压 U。实际测量中的核心规则就是「对边同变邻边差变」相邻桥臂的电阻变化在公式里相减相对桥臂的电阻变化相加。设计测量电桥时通过合理的贴片位置和组桥方式让被测量引起的应变在输出中同号叠加让干扰量引起的应变异号相消测量场景组桥方式工作桥臂说明干扰抑制能力轴扭矩测量全桥四臂均贴应变片相邻臂方向相反抵消轴向力与弯曲弯矩测量半桥对边两臂工作另两臂做温度补偿消除拉压干扰切削力测量全桥差动两拉两压差动接入温度补偿较好以扭矩测量为例沿轴线方向贴片相邻桥臂的应变片所受应变方向相反输出电压是单臂电桥的四倍温度变化引起的阻值漂移在相邻桥臂上相互抵消。弯矩测量组半桥即可两个工作片贴在上下表面一个受拉一个受压组成对边差动。设计这类题目时先画受力分析图判断各应变片是受拉还是受压再套输出电压公式。def bridge_output(U, dR_list, R120): # 按四个桥臂顺序传入电阻变化量R 为应变片标称阻值 S sum(((-1) ** i) * (dr / R) for i, dr in enumerate(dR_list)) return U * S / 4 # 全桥扭矩测量R1/R3 受拉R2/R4 受压 dR [0.1, -0.1, 0.1, -0.1] print(bridge_output(5, dR)) # 输出约 4.17mV这段代码对应四臂全桥输出电压的计算。dR_list里的正负号代表应变片受拉还是受压i的奇偶性对应相邻桥臂关系U是桥压。实际用 5V 桥压、120Ω 应变片时0.1Ω 的阻值变化对应不到 5mV 的输出这个量级必须经过运放调理放大才能进入 ADC直接采集会被噪声淹没。5. RC滤波与幅值调制信号调理的两类核心电路5.1 RC低通网络的频响推导与参数设计RC低通是模拟滤波里最基础的一环频响函数可以从电容分压关系推导也可以从微分方程做傅氏变换得到H(jω) 1/(1jωRC) 1/(1j f/fc)其中截止频率 fc 1/(2πRC)。幅值下降到 0.707即 -3dB时对应的频率就是 fc。实际设计时确定截止频率后先选电容值再反算电阻比先选电阻更容易凑到标准器件值。RC 网络的特点是结构简单、成本低但参数精度依赖器件容差截止频率受温度影响明显适合做粗滤波。RC 高通的情况对称频响函数是 H(jω) jωRC/(1jωRC)在信号调理里用于隔直。低通和高通级联可以组成带通或者带阻但级联后的负载效应会让截止频率偏移设计时要么给每级加缓冲隔离要么把理论值做一定预偏移。考试层面要掌握的是把 RC 频响函数画出来标注出 -3dB 点和 -20dB/dec 的衰减斜率。5.2 数字平滑滤波时域平均与频域截断数字滤波在测试系统里承担事后处理角色。时域平滑的典型做法是移动平均窗口宽度决定平滑程度窗口越大输出波形越平滑但信号本身的快速变化细节也会被抹掉。频域滤波的思路不同先对信号做 FFT把不需要的频率分量置零再反变换回时域相当于做了一次生硬的带限。def moving_average(x, M3): # 等权滑动平均窗口长度 2*M1 y np.zeros_like(x) for k in range(M, len(x) - M): y[k] np.mean(x[k - M:k M 1]) return y代码里的x是采样序列M是窗口半宽。窗口过小时噪声抑制效果差窗口过大时阶跃沿被抹平响应变慢。实际使用中可以根据信号的最高频率分量和采样率估算窗口宽度采样率越高同样的时间窗口对应的采样点数越多M 可以取大一些。频域滤波的代价是截断效应频谱上生硬的置零会在时域引起振铃工程上需要接窗函数过渡带处理。考试层面只需要区分清楚时域平滑是直接对采样点做加权平均频域滤波是修改频谱再还原。5.3 幅值调制与解调频谱搬移的物理意义幅值调制的本质是频谱搬移。被测信号 x(t) 乘以载波 cos(ω0t) 后频谱变成 X(ω) 平移到 ±ω0 两处这就是傅立叶变换的频移性质。调制的工程价值在于把低频测量信号搬到载波频率附近避开电路里的 1/f 噪声和直流漂移。解调时再乘一个同频载波频谱被搬回基带然后用低通滤波器取出原始信号。同步解调要求本振与载波严格同频同相实际系统常用锁相环实现。非线性校正部分开环校正把非线性环节串接在测量链路里做反向补偿闭环校正用反馈把非线性拉回线性区电容传感器的非线性校正多用闭环结构因为反馈会自动调整补偿量适应不同量程。提示调幅解调题目的核心是画频谱图。调制是频谱左右搬移各 ω0解调是搬回去后出现基带分量和 2ω0 分量低通只留基带。能把这三步频谱图画对这章的计算题基本就稳了。6. DFT/FFT参数选取频率分辨力的工程验证DFT 和 IDFT 的计算式在复习资料里有明确要求。DFT 把 N 点时域序列变换成 N 点频域序列直接计算量大约 N²FFT 利用旋转因子的周期性和对称性把计算量降到 N·logN 量级这就是 FFT 存在的工程意义。实际调用np.fft.fft时补零、归一化都自动处理但采样参数必须自己选选错了频谱图再漂亮也没有物理意义。频率分辨力的验证思路很直接构造两个频率非常接近的正弦信号设置不同的采样点数和采样频率观察频谱上两根谱线能不能分开。以下代码可以直接跑通import numpy as np def verify_resolution(fs1000, N1024, f150, f251): # 构造两个频率仅差 1Hz 的正弦信号 t np.arange(N) / fs x np.sin(2 * np.pi * f1 * t) np.sin(2 * np.pi * f2 * t) X np.fft.fft(x) freqs np.fft.fftfreq(N, 1 / fs) spec np.abs(X[:N // 2]) peak_idx np.argsort(spec)[-2:] # 取幅值最大的两个谱峰 return np.sort(freqs[peak_idx]) print(verify_resolution()) # fs1000, N1024 时 Δf≈0.977Hz50Hz 与 51Hz 可以分辨 # N 降到 256 时 Δf≈3.9Hz两个频率将混成一个峰这段代码直接验证采样点数对分辨力的影响。同一个信号N1024 时两个谱峰清晰分离N256 时合并成一个峰。工程上要分辨 Δf采样时间至少是 1/Δf采样点数等于这个时间乘以采样频率再向上圆整到 2 的整数次幂。虚拟仪器部分以通用计算机为核心硬件平台用户自己设计定义面板测试功能由软件实现本质是「软件就是仪器」。与硬件仪器相比它灵活、可扩展、成本低。结合前文讲的采样参数选取方法虚拟仪器的信号处理模块就是同一套套路先根据被测信号的最高频率和需要的分辨力反推采样率和采样点数再做 FFT 和滤波。考试里虚拟仪器通常以简答出现记住定义、特点和「软件定义测试功能」这个核心就能拿全分数。本文还有配套的精品资源点击获取