sigmoid 函数与 logit 函数互为反函数 - 需要看的 幂的对数运算4flyfish表述对于任意正实数M 0 M 0M0和任意实数k kk自然对数的幂运算法则满足k ⋅ ln ⁡ ( M ) ln ⁡ ( M k ) k \cdot \ln(M) \ln\left( M^k \right)k⋅ln(M)ln(Mk)即常数与对数的乘积等于将该常数作为真数的指数再取对数。公式右边ln ⁡ ( M k ) \ln(M^k)ln(Mk)是完整主体整体是一个对数对数的真数M k M^kMk是一个幂的形式所以叫幂的对数。分步推导设辅助变量将对数转化为指数形式设a ln ⁡ ( M ) a \ln(M)aln(M)。根据自然对数的定义其等价的指数形式为e a M e^a MeaM对数的定义对数是指数的逆运算ln ⁡ ( M ) \ln(M)ln(M)就是求e ee的多少次方等于M MM。等式两边同时取k kk次幂对等式e a M e^a MeaM左右两边同时取k kk次方等式仍然成立( e a ) k M k \left(e^a\right)^k M^k(ea)kMk等式两边同时进行相同的乘方运算等式保持成立。左边应用指数幂运算法则化简根据指数的幂运算法则幂的乘方底数不变指数相乘左边化简为( e a ) k e a ⋅ k \left(e^a\right)^k e^{a \cdot k}(ea)kea⋅k代入原式得到e a ⋅ k M k e^{a \cdot k} M^kea⋅kMk指数幂运算法则( a m ) n a m × n (a^m)^n a^{m \times n}(am)nam×n。为什么 底数不变指数相乘2等式两边同时取自然对数对等式左右两边同时取以e ee为底的自然对数等式仍然成立ln ⁡ ( e a ⋅ k ) ln ⁡ ( M k ) \ln\left(e^{a \cdot k}\right) \ln\left(M^k\right)ln(ea⋅k)ln(Mk)等式两边同时取相同底数的对数等式保持成立。左边利用逆运算性质抵消根据对数与指数的互逆性质ln ⁡ ( e x ) x \ln(e^x) xln(ex)x左边的对数和指数直接抵消ln ⁡ ( e a ⋅ k ) a ⋅ k \ln\left(e^{a \cdot k}\right) a \cdot kln(ea⋅k)a⋅k代入原式得到a ⋅ k ln ⁡ ( M k ) a \cdot k \ln\left(M^k\right)a⋅kln(Mk)为什么 对数与指数互为逆运算1对数与指数互为逆运算同底数的对数与指数先后作用相互抵消。代回原变量得到最终结论将第一步中设的辅助变量a ln ⁡ ( M ) a \ln(M)aln(M)代入上式左边k ⋅ ln ⁡ ( M ) ln ⁡ ( M k ) k \cdot \ln(M) \ln\left(M^k\right)k⋅ln(M)ln(Mk)等量代换。负系数的情况为什么 x 的负一次方等于 x 分之一3当k − 1 k -1k−1时代入上述法则可得− ln ⁡ ( M ) ln ⁡ ( M − 1 ) -\ln(M) \ln\left(M^{-1}\right)−ln(M)ln(M−1)结合负指数幂的定义M − 1 1 M M^{-1} \frac{1}{M}M−1M1​推导由同底数幂除法a 0 a 1 a − 1 \frac{a^0}{a^1}a^{-1}a1a0​a−1即1 a a − 1 \frac{1}{a}a^{-1}a1​a−1进一步得到− ln ⁡ ( M ) ln ⁡ ( 1 M ) -\ln(M) \ln\left( \frac{1}{M} \right)−ln(M)ln(M1​)