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作者: 曾小健 Zijian Zeng很多人第一次学习量化金融时都会产生一种错觉既然股票有价格价格形成时间序列时间序列可以写成函数函数可以求导可以建立概率分布可以写随机微分方程——那么只要数学足够强、算力足够大、数据足够多我们是不是最终就能够把金融市场“算出来”遗憾的是三百年来无数顶尖数学家、经济学家和量化交易者都撞在了这堵墙上。其中最具有象征意义的人恰恰是人类历史上最伟大的数学家和物理学家之一艾萨克·牛顿。牛顿能够计算月球轨道能够解释潮汐能够建立经典力学却没有因此获得预测金融市场的能力。这背后真正值得思考的问题并不是为什么牛顿炒股也可能亏钱而是为什么一个可以精确描述天体运动的人面对金融市场却突然失去了这种预测能力答案可能比“市场太复杂”深刻得多。因为太阳、月球、苹果和行星都有一个共同特征它们不会阅读牛顿的论文。而金融市场里的参与者会。这正是金融随机性的真正起点。一、金融最可怕的地方你发现规律以后规律会“知道”你发现了它假设牛顿发现万有引力$$F\frac{GMm}{r^2}$$太阳不会第二天召开会议“糟了牛顿已经发现我们的运行规律。从明天开始修改引力参数。”地球也不会因为知道牛顿正在预测自己就故意改变轨道。因此在经典物理学中我们经常可以把世界近似写成$$X_{t1}F(X_t,\theta)\varepsilon_{t1}$$其中$X_t$系统当前状态$F$物理规律$\theta$相对稳定的参数$\varepsilon_{t1}$噪声或者外生扰动。这里最重要的一点是研究者基本站在系统之外。可是金融市场完全不同。假设你发现一个规律每当某个指标 $S_tc$ 时这类股票未来一个月平均上涨 3%。如果只有你知道你可以买入赚钱。但如果高盛知道了、摩根士丹利知道了、Citadel知道了、几十万台交易服务器也知道了会发生什么大家会在真正的上涨发生之前就开始抢。于是$$3%\rightarrow2%\rightarrow1%\rightarrow0.2%\rightarrow0$$最终这个规律可能连交易手续费都覆盖不了。注意这里出现了一个极其特殊的现象不是因为这个规律原来是错的它才消失。恰恰因为这个规律原来是对的所以大量资本开始利用它又因为大量资本利用它所以它后来不再对。这在自然科学中极其罕见。但它却是金融市场的日常。二、这才是金融真正深刻的公式模型会进入它所描述的世界普通统计模型喜欢写成$$r_{t1}f(X_t;\theta)\varepsilon_{t1}$$量化研究员的任务就是利用过去的数据估计参数 $\theta$。问题是金融市场中的真实情况往往更接近$$r_{t1}f(X_t;\theta_t,A_t,B_t,R_t)\varepsilon_{t1}$$其中$A_t$所有市场参与者的行动$B_t$市场参与者的信念$R_t$监管制度、交易规则、融资条件等$\theta_t$随时间变化的市场机制。更麻烦的是$$\theta_{t1}g(\theta_t,A_t,B_t,R_t,M_t)$$这里的 $M_t$ 是市场参与者正在使用什么模型。这意味着“大家正在用什么模型”本身也是下一期市场状态的一个变量。于是市场形成了一个闭环$$\text{模型}\rightarrow\text{交易}\rightarrow\text{价格}\rightarrow\text{数据}\rightarrow\text{新模型}\rightarrow\text{新交易}$$这就是金融中的反身性内生性反馈策略拥挤regime change。所以金融市场绝不是一颗等着数学家计算轨道的行星。它更像一颗会阅读你的论文、研究你的算法、预测你的预测然后根据你的预测改变自己轨道的行星。这才是金融为什么难。三、赌场其实都没有金融市场这么“随机”很多人喜欢把股票市场比作赌场。其实这仍然低估了金融市场的复杂程度。假设你玩轮盘赌。红色的概率由规则决定。你下注 100 美元买红并不会因为你下注了红色出现的概率立刻改变。你研究出一套轮盘策略之后轮盘也不会偷偷阅读你的代码然后专门针对你的策略做优化。金融市场却完全不同。假设某只股票当前价格是$$P_t100$$你认为它严重低估于是大量买入。你的行为本身就可能使价格变成$$100\rightarrow101$$如果有 1000 个和你一样聪明的人同时行动$$100\rightarrow105\rightarrow110$$最终“它很便宜”这件事情会因为所有人都发现它便宜而消失。所以金融市场与赌场最大的区别是你下注以后赔率本身会变化。甚至别人会观察你为什么下注别人会预测你下一步怎么下注你也会预测别人会不会跟随你监管者还可能修改整个游戏规则。因此在金融市场里概率分布并不总是像赌场赔率那样静静等在那里。概率分布本身也可能是内生的。四、数学没有错但现实从来没有答应遵守你的全部假设金融数学里最容易犯的错误不是数学计算错误。而是把条件性结论当成无条件真理。例如某个数学模型证明如果条件$$A,B,C,D$$全部成立那么结论$$E$$必然成立。数学保证的是$$A\land B\land C\land D\RightarrowE$$可是数学从来没有保证$$A,B,C,D$$明天仍然成立。金融危机真正恐怖的地方恰恰就在这里。你可能精确地计算了一个已经消失的世界。五、Black-Scholes 没有“错”现实只是没有永久遵守它的假设Black-Scholes 是金融数学史上最漂亮的成果之一。在经典模型中我们通常会假设标的资产满足类似$$dS_t\mu S_t,dt\sigma S_t,dW_t$$其中$S_t$资产价格$\mu$漂移率$\sigma$波动率$W_t$布朗运动。经过无套利复制之后可以得到著名的 Black-Scholes PDE$$\frac{\partial V}{\partial t}\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2}rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV0$$这个方程没有因为 1987 年股灾而“变错”。真正的问题在于现实世界可能存在跳跃波动率变化流动性消失bid-ask spread融资约束做空约束保证金追缴市场冲击离散交易集体去杠杆。因此真正的问题不是Black-Scholes 错了吗而应该问现实世界距离 Black-Scholes 的假设有多远六、风险模型甚至可能自己制造风险这是金融比物理学更加诡异的地方。假设很多机构使用类似的动态风险控制策略。当价格下跌时模型告诉基金风险上升了减仓。于是$$\text{价格下跌}\rightarrow\text{风险指标上升}\rightarrow\text{减仓}$$可是减仓又意味着卖出。于是$$\text{减仓}\rightarrow\text{卖出}\rightarrow\text{价格继续下跌}$$价格继续下跌以后模型再次要求减仓$$P\downarrow\RightarrowRisk\uparrow\RightarrowSell\RightarrowP\downarrow$$循环形成$$P\downarrow\rightarrowSell\rightarrowP\downarrow\rightarrowSell\rightarrowP\downarrow$$于是一个本来用于降低风险的模型可能因为全市场同时使用反而成为系统性风险的来源。这就是金融最反直觉的地方之一风险控制行为本身也可能制造风险。七、为什么一个量化策略一旦被公开就可能开始失效假设某个量化策略最初能够产生超额收益$$\alpha_0$$越来越多资本发现以后总资金规模为 $A$。我们可以非常粗略地写成$$\alpha(A)\alpha_0\lambda AC(A)$$其中$\lambda A$拥挤交易造成的 Alpha 衰减$C(A)$交易成本、滑点和市场冲击。随着资金进入$$A\uparrow$$Alpha 会下降$$\alpha(A)\downarrow$$直到某个容量 $A^*$$$\alpha(A^*)\approx0$$这意味着一个非常好的可预测规律会吸引资本而资本本身会逐渐消灭这个规律。于是金融市场出现一个极其漂亮的悖论越容易预测的东西越容易被套利到无法预测。八、金融市场并不是“完全有效”也不是“完全无效”如果市场完全无效那么赚钱会非常容易。大量资本会立即进入。随着资本进入$$\text{市场无效率}\downarrow$$但如果市场绝对有效$$E[r_{t1}\mid I_t]r_f$$那么主动搜集信息将变得毫无意义。没人愿意花钱研究公司。没人愿意研究财报。没人愿意调查产业链。于是信息又无法自动进入价格。因此金融市场更像一个动态生态系统$$\text{机会出现}\rightarrow\text{有人发现}\rightarrow\text{赚钱}\rightarrow\text{资本涌入}\rightarrow\text{机会减少}\rightarrow\text{资本退出}\rightarrow\text{新机会出现}$$它不是静止均衡。而是不断适应。九、金融的“随机性”至少存在四种不同来源我们经常把所有预测失败都叫做“随机”。其实这些随机根本不是同一种东西。第一种外生随机性例如战争地震突发政策CEO 突然去世技术突破黑天鹅事件。可以写成$$\varepsilon_t^{external}$$这是传统意义上的 shock。第二种信息不确定性信息可能已经存在。但是你不知道。别人知道。于是$$I_t^{you}\neqI_t^{market}$$你面对的不是纯随机。而是你不知道别人知道什么。第三种战略不确定性假设美联储宣布降息。你不能只问降息利好股票吗你还必须问市场原来预期降息多少更进一步别人认为其他人会怎样理解这次降息所以价格变化可能更接近$$\Delta Pf(\text{事实}\text{预期})$$而不是简单的$$\Delta Pf(\text{事实})$$第四种反身性不确定性这是最难的一种。大家的信念会产生交易$$Belief\rightarrowAction$$交易改变价格$$Action\rightarrowPrice$$价格又反过来影响信念$$Price\rightarrowBelief$$所以最终形成$$Belief\rightarrowAction\rightarrowPrice\rightarrowBelief$$这已经不 牛顿能算出行星，却算不出股价：金融市场为什么如此随机？数学一进入市场，为何经常“失效”？
作者: 曾小健 Zijian Zeng很多人第一次学习量化金融时都会产生一种错觉既然股票有价格价格形成时间序列时间序列可以写成函数函数可以求导可以建立概率分布可以写随机微分方程——那么只要数学足够强、算力足够大、数据足够多我们是不是最终就能够把金融市场“算出来”遗憾的是三百年来无数顶尖数学家、经济学家和量化交易者都撞在了这堵墙上。其中最具有象征意义的人恰恰是人类历史上最伟大的数学家和物理学家之一艾萨克·牛顿。牛顿能够计算月球轨道能够解释潮汐能够建立经典力学却没有因此获得预测金融市场的能力。这背后真正值得思考的问题并不是为什么牛顿炒股也可能亏钱而是为什么一个可以精确描述天体运动的人面对金融市场却突然失去了这种预测能力答案可能比“市场太复杂”深刻得多。因为太阳、月球、苹果和行星都有一个共同特征它们不会阅读牛顿的论文。而金融市场里的参与者会。这正是金融随机性的真正起点。一、金融最可怕的地方你发现规律以后规律会“知道”你发现了它假设牛顿发现万有引力$$F\frac{GMm}{r^2}$$太阳不会第二天召开会议“糟了牛顿已经发现我们的运行规律。从明天开始修改引力参数。”地球也不会因为知道牛顿正在预测自己就故意改变轨道。因此在经典物理学中我们经常可以把世界近似写成$$X_{t1}F(X_t,\theta)\varepsilon_{t1}$$其中$X_t$系统当前状态$F$物理规律$\theta$相对稳定的参数$\varepsilon_{t1}$噪声或者外生扰动。这里最重要的一点是研究者基本站在系统之外。可是金融市场完全不同。假设你发现一个规律每当某个指标 $S_tc$ 时这类股票未来一个月平均上涨 3%。如果只有你知道你可以买入赚钱。但如果高盛知道了、摩根士丹利知道了、Citadel知道了、几十万台交易服务器也知道了会发生什么大家会在真正的上涨发生之前就开始抢。于是$$3%\rightarrow2%\rightarrow1%\rightarrow0.2%\rightarrow0$$最终这个规律可能连交易手续费都覆盖不了。注意这里出现了一个极其特殊的现象不是因为这个规律原来是错的它才消失。恰恰因为这个规律原来是对的所以大量资本开始利用它又因为大量资本利用它所以它后来不再对。这在自然科学中极其罕见。但它却是金融市场的日常。二、这才是金融真正深刻的公式模型会进入它所描述的世界普通统计模型喜欢写成$$r_{t1}f(X_t;\theta)\varepsilon_{t1}$$量化研究员的任务就是利用过去的数据估计参数 $\theta$。问题是金融市场中的真实情况往往更接近$$r_{t1}f(X_t;\theta_t,A_t,B_t,R_t)\varepsilon_{t1}$$其中$A_t$所有市场参与者的行动$B_t$市场参与者的信念$R_t$监管制度、交易规则、融资条件等$\theta_t$随时间变化的市场机制。更麻烦的是$$\theta_{t1}g(\theta_t,A_t,B_t,R_t,M_t)$$这里的 $M_t$ 是市场参与者正在使用什么模型。这意味着“大家正在用什么模型”本身也是下一期市场状态的一个变量。于是市场形成了一个闭环$$\text{模型}\rightarrow\text{交易}\rightarrow\text{价格}\rightarrow\text{数据}\rightarrow\text{新模型}\rightarrow\text{新交易}$$这就是金融中的反身性内生性反馈策略拥挤regime change。所以金融市场绝不是一颗等着数学家计算轨道的行星。它更像一颗会阅读你的论文、研究你的算法、预测你的预测然后根据你的预测改变自己轨道的行星。这才是金融为什么难。三、赌场其实都没有金融市场这么“随机”很多人喜欢把股票市场比作赌场。其实这仍然低估了金融市场的复杂程度。假设你玩轮盘赌。红色的概率由规则决定。你下注 100 美元买红并不会因为你下注了红色出现的概率立刻改变。你研究出一套轮盘策略之后轮盘也不会偷偷阅读你的代码然后专门针对你的策略做优化。金融市场却完全不同。假设某只股票当前价格是$$P_t100$$你认为它严重低估于是大量买入。你的行为本身就可能使价格变成$$100\rightarrow101$$如果有 1000 个和你一样聪明的人同时行动$$100\rightarrow105\rightarrow110$$最终“它很便宜”这件事情会因为所有人都发现它便宜而消失。所以金融市场与赌场最大的区别是你下注以后赔率本身会变化。甚至别人会观察你为什么下注别人会预测你下一步怎么下注你也会预测别人会不会跟随你监管者还可能修改整个游戏规则。因此在金融市场里概率分布并不总是像赌场赔率那样静静等在那里。概率分布本身也可能是内生的。四、数学没有错但现实从来没有答应遵守你的全部假设金融数学里最容易犯的错误不是数学计算错误。而是把条件性结论当成无条件真理。例如某个数学模型证明如果条件$$A,B,C,D$$全部成立那么结论$$E$$必然成立。数学保证的是$$A\land B\land C\land D\RightarrowE$$可是数学从来没有保证$$A,B,C,D$$明天仍然成立。金融危机真正恐怖的地方恰恰就在这里。你可能精确地计算了一个已经消失的世界。五、Black-Scholes 没有“错”现实只是没有永久遵守它的假设Black-Scholes 是金融数学史上最漂亮的成果之一。在经典模型中我们通常会假设标的资产满足类似$$dS_t\mu S_t,dt\sigma S_t,dW_t$$其中$S_t$资产价格$\mu$漂移率$\sigma$波动率$W_t$布朗运动。经过无套利复制之后可以得到著名的 Black-Scholes PDE$$\frac{\partial V}{\partial t}\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2}rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV0$$这个方程没有因为 1987 年股灾而“变错”。真正的问题在于现实世界可能存在跳跃波动率变化流动性消失bid-ask spread融资约束做空约束保证金追缴市场冲击离散交易集体去杠杆。因此真正的问题不是Black-Scholes 错了吗而应该问现实世界距离 Black-Scholes 的假设有多远六、风险模型甚至可能自己制造风险这是金融比物理学更加诡异的地方。假设很多机构使用类似的动态风险控制策略。当价格下跌时模型告诉基金风险上升了减仓。于是$$\text{价格下跌}\rightarrow\text{风险指标上升}\rightarrow\text{减仓}$$可是减仓又意味着卖出。于是$$\text{减仓}\rightarrow\text{卖出}\rightarrow\text{价格继续下跌}$$价格继续下跌以后模型再次要求减仓$$P\downarrow\RightarrowRisk\uparrow\RightarrowSell\RightarrowP\downarrow$$循环形成$$P\downarrow\rightarrowSell\rightarrowP\downarrow\rightarrowSell\rightarrowP\downarrow$$于是一个本来用于降低风险的模型可能因为全市场同时使用反而成为系统性风险的来源。这就是金融最反直觉的地方之一风险控制行为本身也可能制造风险。七、为什么一个量化策略一旦被公开就可能开始失效假设某个量化策略最初能够产生超额收益$$\alpha_0$$越来越多资本发现以后总资金规模为 $A$。我们可以非常粗略地写成$$\alpha(A)\alpha_0\lambda AC(A)$$其中$\lambda A$拥挤交易造成的 Alpha 衰减$C(A)$交易成本、滑点和市场冲击。随着资金进入$$A\uparrow$$Alpha 会下降$$\alpha(A)\downarrow$$直到某个容量 $A^*$$$\alpha(A^*)\approx0$$这意味着一个非常好的可预测规律会吸引资本而资本本身会逐渐消灭这个规律。于是金融市场出现一个极其漂亮的悖论越容易预测的东西越容易被套利到无法预测。八、金融市场并不是“完全有效”也不是“完全无效”如果市场完全无效那么赚钱会非常容易。大量资本会立即进入。随着资本进入$$\text{市场无效率}\downarrow$$但如果市场绝对有效$$E[r_{t1}\mid I_t]r_f$$那么主动搜集信息将变得毫无意义。没人愿意花钱研究公司。没人愿意研究财报。没人愿意调查产业链。于是信息又无法自动进入价格。因此金融市场更像一个动态生态系统$$\text{机会出现}\rightarrow\text{有人发现}\rightarrow\text{赚钱}\rightarrow\text{资本涌入}\rightarrow\text{机会减少}\rightarrow\text{资本退出}\rightarrow\text{新机会出现}$$它不是静止均衡。而是不断适应。九、金融的“随机性”至少存在四种不同来源我们经常把所有预测失败都叫做“随机”。其实这些随机根本不是同一种东西。第一种外生随机性例如战争地震突发政策CEO 突然去世技术突破黑天鹅事件。可以写成$$\varepsilon_t^{external}$$这是传统意义上的 shock。第二种信息不确定性信息可能已经存在。但是你不知道。别人知道。于是$$I_t^{you}\neqI_t^{market}$$你面对的不是纯随机。而是你不知道别人知道什么。第三种战略不确定性假设美联储宣布降息。你不能只问降息利好股票吗你还必须问市场原来预期降息多少更进一步别人认为其他人会怎样理解这次降息所以价格变化可能更接近$$\Delta Pf(\text{事实}\text{预期})$$而不是简单的$$\Delta Pf(\text{事实})$$第四种反身性不确定性这是最难的一种。大家的信念会产生交易$$Belief\rightarrowAction$$交易改变价格$$Action\rightarrowPrice$$价格又反过来影响信念$$Price\rightarrowBelief$$所以最终形成$$Belief\rightarrowAction\rightarrowPrice\rightarrowBelief$$这已经不