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1、矩阵的对角化判断参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/151391027定义对于一个 n×n 的方阵 A 如果存在一个可逆矩阵 P 和一个对角矩阵 Λ 使得P^(−1)APΛP^(−1)APΛ则称矩阵 A可对角化。其中 Λ 的对角元素是 A的特征值 P 的列向量是 A 对应的线性无关特征向量。2、矩阵分解2.1、矩阵的奇异值分解参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/298460482.2、QR分解将 X 分解为 QR Q 正交 R 上三角。QR 分解主要用于求解线性方程组、最小二乘问题等不提供按重要性排序的分量截断后无法保证重构误差最小。2.3、LU分解将 X 分解为 LU 下三角×上三角主要用于求解线性方程组和计算行列式。LU 分解不保持正交性且分量无能量/方差排序意义截断后重构误差不可控。2.4、Cholesky分解仅适用于对称正定矩阵将 ALLTALLT 。样本矩阵 XX 一般不是方阵更不是对称正定的Cholesky 分解根本不适用。即使对协方差矩阵 XTXXTX 做 Cholesky也无法直接得到最优低秩近似。3、矩阵方程3.1、矩阵方程的列向量线性无关矩阵方程(A^T A x A^T b 有唯一解的充分必要条件是矩阵A的列向量线性无关即列满秩。当该条件满足时其唯一解可表示为 x (A^T A)^{-1} A^T b 。3.2、Axb有解的条件参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/76698110Axb有解 等价于 rank(A)rank(A,b) 即矩阵A的列向量中的线性无关的列向量数目和其增广矩阵的线性无关的列向量数目相等则意味着列向量b可以被A中的列向量的线性组合表示。3.3、矩阵的逆求解参考矩阵逆的三种求法-CSDN博客定义参考矩阵逆运算详解与应用-CSDN博客A II是单位矩阵3.4、不同特征值对应的特征向量是线性无关的参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/304544903.5、正定矩阵与半正定矩阵参考正定矩阵与半正定矩阵定义性质与理解-CSDN博客是n阶方阵如果对任何非零向量都有^0其中 表示的转置就称正定矩阵。3.6、有限交错几何级数恒等式矩阵计算方法题目设A[−11,4;−30,11]则(AE)(E−AA²−A³A⁴−A⁵A⁶)的结果是多少提供一个简单的计算方法求解方法综合后为 E A^74、随机变量4.1、随机变量的定义参考 离散型以及连续型随机变量-腾讯云开发者社区-腾讯云4.2、连续型随机变量A. 连续型随机变量的概率密度函数PDF在任意点的值可以大于1✅正确。概率密度函数 f(x) 的值不是概率而是“概率密度”单点取值完全可以大于1。B. 连续型随机变量的累积分布函数CDF一定是连续函数✅正确。这是连续型随机变量的定义性质之一。C. 若X是连续型随机变量则P(Xa)0对任意实数a成立✅正确。这是连续型随机变量的核心特征。因为由 CDF 连续性直接推出。这也意味着连续型随机变量取任何单个具体值的概率为零概率只在区间上有意义。D. 对于连续型随机变量X若其概率密度函数f(x)是常数则X的分布关于0对称❌错误。若 f(x) 是常数则 X 服从均匀分布。但均匀分布的定义区间不一定关于0对称。5、概率分布5.1、常见概率分布参考https://blog.csdn.net/Anne033/article/details/1093038065.2、伯努利分布参考几种概率分布伯努利分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布、伽马分布-CSDN博客5.3、泊松分布参考概率分布介绍泊松分布_泊松分布的lamuda-CSDN博客为什么泊松不得不发明泊松分布?当时主要的问题是预测未来中发生事件的次数更正式地说预测在固定间隔的时间里预测该事件发生n次的概率。“事件”可理解为一天中访问你网站的访客数、一天中所接到的电话数。6、互斥事件和独立事件参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/5189164377、期望值和方差性质参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/6735947561方差变换性质非负性方差总是非负的即 Var(X) ≥ 0。这是因为方差是偏差平方的平均而平方总是非负的。常数的方差任何常数 c 的方差为零即 Var(c) 0。线性变换对于任何常数 a 和 bVar(aX b) a^2 Var(X)。这说明加上或减去一个常数不会改变方差但乘以一个常数会按该常数的平方来缩放方差。2期望值性质线性如果有两个随机变量 X 和 Y以及两个常数 a 和 b那么 E(aX bY) aE(X) bE(Y)。这意味着期望值运算可以分配到每个随机变量和常数上。常数的期望值任何常数 c 的期望值就是它本身即 E(c) c。独立随机变量的乘积如果 X 和 Y 是独立的则 E(XY) E(X)E(Y)。8、对数和指数函数性质参考指数与对数 - Jimmyhus - 博客园9、拉格朗日插值参考线性插值、抛物插值、Lagrange插值 | Lagrange拉格朗日插值法一-CSDN博客10、插值10.1、三次样条插值参考三次样条cubic spline插值 - 知乎当已知某些点而不知道具体方程时候最经常遇到的场景就是做实验采集到数据的时候我们通常有两种做法拟合或者插值。拟合不要求方程通过所有的已知点讲究神似就是整体趋势一致。插值则是形似每个已知点都必会穿过但是高阶会出现龙格库塔现象所以一般采用分段插值。今天我们就来说说这个分段三次样条插值。考点关于三次样条插值正确的是解答❌ A. 插值函数在节点处二阶导数不连续错误描述本题答案这恰恰与三次样条的定义相反。三次样条插值的核心定义是在每个子区间上为三次多项式且在整个区间上具有C2C2 连续性即函数值、一阶导数、二阶导数在内部节点处均连续。✅ B. 在每个子区间上用三次多项式逼近函数正确✅ C. 插值函数通过所有给定数据点正确✅ D. 相比高次多项式插值三次样条能避免 Runge 现象正确方法问题高次全局多项式插值等距节点下边界剧烈振荡Runge 现象次数越高越严重三次样条分段低次 C2C2 光滑约束 → 局部控制、全局稳定有效避免 Runge 现象 大模型数据知识点总结01
1、矩阵的对角化判断参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/151391027定义对于一个 n×n 的方阵 A 如果存在一个可逆矩阵 P 和一个对角矩阵 Λ 使得P^(−1)APΛP^(−1)APΛ则称矩阵 A可对角化。其中 Λ 的对角元素是 A的特征值 P 的列向量是 A 对应的线性无关特征向量。2、矩阵分解2.1、矩阵的奇异值分解参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/298460482.2、QR分解将 X 分解为 QR Q 正交 R 上三角。QR 分解主要用于求解线性方程组、最小二乘问题等不提供按重要性排序的分量截断后无法保证重构误差最小。2.3、LU分解将 X 分解为 LU 下三角×上三角主要用于求解线性方程组和计算行列式。LU 分解不保持正交性且分量无能量/方差排序意义截断后重构误差不可控。2.4、Cholesky分解仅适用于对称正定矩阵将 ALLTALLT 。样本矩阵 XX 一般不是方阵更不是对称正定的Cholesky 分解根本不适用。即使对协方差矩阵 XTXXTX 做 Cholesky也无法直接得到最优低秩近似。3、矩阵方程3.1、矩阵方程的列向量线性无关矩阵方程(A^T A x A^T b 有唯一解的充分必要条件是矩阵A的列向量线性无关即列满秩。当该条件满足时其唯一解可表示为 x (A^T A)^{-1} A^T b 。3.2、Axb有解的条件参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/76698110Axb有解 等价于 rank(A)rank(A,b) 即矩阵A的列向量中的线性无关的列向量数目和其增广矩阵的线性无关的列向量数目相等则意味着列向量b可以被A中的列向量的线性组合表示。3.3、矩阵的逆求解参考矩阵逆的三种求法-CSDN博客定义参考矩阵逆运算详解与应用-CSDN博客A II是单位矩阵3.4、不同特征值对应的特征向量是线性无关的参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/304544903.5、正定矩阵与半正定矩阵参考正定矩阵与半正定矩阵定义性质与理解-CSDN博客是n阶方阵如果对任何非零向量都有^0其中 表示的转置就称正定矩阵。3.6、有限交错几何级数恒等式矩阵计算方法题目设A[−11,4;−30,11]则(AE)(E−AA²−A³A⁴−A⁵A⁶)的结果是多少提供一个简单的计算方法求解方法综合后为 E A^74、随机变量4.1、随机变量的定义参考 离散型以及连续型随机变量-腾讯云开发者社区-腾讯云4.2、连续型随机变量A. 连续型随机变量的概率密度函数PDF在任意点的值可以大于1✅正确。概率密度函数 f(x) 的值不是概率而是“概率密度”单点取值完全可以大于1。B. 连续型随机变量的累积分布函数CDF一定是连续函数✅正确。这是连续型随机变量的定义性质之一。C. 若X是连续型随机变量则P(Xa)0对任意实数a成立✅正确。这是连续型随机变量的核心特征。因为由 CDF 连续性直接推出。这也意味着连续型随机变量取任何单个具体值的概率为零概率只在区间上有意义。D. 对于连续型随机变量X若其概率密度函数f(x)是常数则X的分布关于0对称❌错误。若 f(x) 是常数则 X 服从均匀分布。但均匀分布的定义区间不一定关于0对称。5、概率分布5.1、常见概率分布参考https://blog.csdn.net/Anne033/article/details/1093038065.2、伯努利分布参考几种概率分布伯努利分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布、伽马分布-CSDN博客5.3、泊松分布参考概率分布介绍泊松分布_泊松分布的lamuda-CSDN博客为什么泊松不得不发明泊松分布?当时主要的问题是预测未来中发生事件的次数更正式地说预测在固定间隔的时间里预测该事件发生n次的概率。“事件”可理解为一天中访问你网站的访客数、一天中所接到的电话数。6、互斥事件和独立事件参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/5189164377、期望值和方差性质参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/6735947561方差变换性质非负性方差总是非负的即 Var(X) ≥ 0。这是因为方差是偏差平方的平均而平方总是非负的。常数的方差任何常数 c 的方差为零即 Var(c) 0。线性变换对于任何常数 a 和 bVar(aX b) a^2 Var(X)。这说明加上或减去一个常数不会改变方差但乘以一个常数会按该常数的平方来缩放方差。2期望值性质线性如果有两个随机变量 X 和 Y以及两个常数 a 和 b那么 E(aX bY) aE(X) bE(Y)。这意味着期望值运算可以分配到每个随机变量和常数上。常数的期望值任何常数 c 的期望值就是它本身即 E(c) c。独立随机变量的乘积如果 X 和 Y 是独立的则 E(XY) E(X)E(Y)。8、对数和指数函数性质参考指数与对数 - Jimmyhus - 博客园9、拉格朗日插值参考线性插值、抛物插值、Lagrange插值 | Lagrange拉格朗日插值法一-CSDN博客10、插值10.1、三次样条插值参考三次样条cubic spline插值 - 知乎当已知某些点而不知道具体方程时候最经常遇到的场景就是做实验采集到数据的时候我们通常有两种做法拟合或者插值。拟合不要求方程通过所有的已知点讲究神似就是整体趋势一致。插值则是形似每个已知点都必会穿过但是高阶会出现龙格库塔现象所以一般采用分段插值。今天我们就来说说这个分段三次样条插值。考点关于三次样条插值正确的是解答❌ A. 插值函数在节点处二阶导数不连续错误描述本题答案这恰恰与三次样条的定义相反。三次样条插值的核心定义是在每个子区间上为三次多项式且在整个区间上具有C2C2 连续性即函数值、一阶导数、二阶导数在内部节点处均连续。✅ B. 在每个子区间上用三次多项式逼近函数正确✅ C. 插值函数通过所有给定数据点正确✅ D. 相比高次多项式插值三次样条能避免 Runge 现象正确方法问题高次全局多项式插值等距节点下边界剧烈振荡Runge 现象次数越高越严重三次样条分段低次 C2C2 光滑约束 → 局部控制、全局稳定有效避免 Runge 现象