我们知道黎曼泽塔函数它是对无限项序列的求和。这种求和有的时候是收敛的比如比如有的时候是发散的比如它和对数的定积分只差为一个随着周期增加而增加精度的伽马常数。当然如果类比于圆周率它也是随着周期增加精度的超越数也可以认为是收敛的。而通常我们说它是发散的。除了泽塔函数其实还有一些被认为是发散的序列其和却有定值。让我们看看这是怎么回事。比如也就是2的全部幂次构成的序列的和。对于有限项的情况它是一个首项为1公比为2的等比数列有限项的全加和为无限项如果公比则无穷级数和为现在的问题是也就是数列不收敛但是我们知道这个数列的和仍然是也就是说不管是否收敛结果的形式是一样的。这是我们要讨论的问题。但首先我们考虑每一项都取倒数的情况这个不难理解就是整体的一半加上一半的一半加上一半的一半的一半这样无限加下去就回到了整体。这里的整体的大小是2第一次一半是1也就是每次取先前的一半也就是。现在回到整体大小未知第一次是每次取先前的两倍也就是现在要求的是整体的大小。回顾我们求自然对数底的方法我们把 S 写成这就相当于的递归形式中所有的都等于 2 。最终 S 等于 2 。也就是一个数的一半加上一之后再取一半再加上一之后再取一半无限进行下去等于这个的倒数这个数就是 2 。也就是说求的是递归方程的不动点而倒数和这说的是一个数的两倍加上一之后再求两倍加上一之后再求两倍无限加乘下去最后等于自己。其实这里的自己实际上是自己的倒数只是两者数值上相等而已负一和负一分之一。而这也是要求递归方程的不动点根据和e的展开式的对比可见这些等比数列的全加和也是和e一样的单位也是自身和自身倒数相等的数值而求它们的方法就是写出通式并求递归方程的不动点。既然这样任何一个自然数都可以成为不动点相当于等比数列的公比大于1用这种方式就可以求出任何一个自然数作为不动点的结果这里因为公比大于 1 结果总是一个负的真分数。也就是说满足这个发散求和的不动点方程的结果总是一个负的真分数。而这和的原理是一样的。也就是说的实际含义是这个结果是一个基于虚数单位的复数只是它的虚数单位的幂次为偶数而体现出实数的样子。这个复数并不是说它比 0 小而是说它占据周期的比例。比如写成的意思是这种方式构成的全加和占据周期减去 1 的结果的比例为 100% 。而这种方式的全加和占据周期减去 1 的结果的比例为 8.33% 也就是十二分之一。经过这种解读公比大于 1 的无穷等比数列的全加和也可以用一样的公式来计算结果也能得到实数解以及实数解到底是什么意思也就清楚了。我的意思是如果发现数列发散无所谓可以直接算因为发散的结果放到复数域表示或者认为是复数即可。