目录前言一、博弈论基础铺垫1.1 公平组合游戏 (ICG)1.2 必胜态与必败态1.3 非公平组合游戏与反常游戏二、巴什博弈 (Bash Game) 核心原理2.1 巴什博弈的经典问题描述2.2 核心结论推导步骤 1定义基础状态步骤 2分析小数值的状态规律步骤 3通用结论严格证明情况 1n 是 m 的倍数n t * mt 为正整数情况 2n 不是 m 的倍数n t * m r1 ≤ r ≤ k2.3 巴什博弈的核心思想三、巴什博弈经典例题实战3.1 例题 1取石子游戏 1巴什博弈基础模板题题目来源题目描述输入描述输出描述解题思路C 代码实现示例测试3.2 例题 2RoyOctober 之取石子巴什博弈变种 1题目来源题目描述输入描述输出描述解题思路C 代码实现示例测试3.3 例题 3RoyOctober 之取石子 II巴什博弈变种 2题目来源题目描述输入描述输出描述解题思路C 代码实现示例测试四、巴什博弈的延伸与拓展4.1 巴什博弈的反常版本4.2 巴什博弈与其他博弈模型的组合4.3 巴什博弈的解题技巧总结五、巴什博弈的学习意义与后续拓展总结前言在算法竞赛的博弈论领域巴什博弈Bash Game是最基础、最经典的公平组合游戏模型也是入门博弈论的必经之路。它以简单的规则为载体蕴含着博弈论的核心思想 ——必胜态与必败态的推导掌握巴什博弈的解题思路能为后续学习 Nim 博弈、SG 函数等复杂博弈模型打下坚实的基础。本文将从巴什博弈的定义出发深入推导其核心结论结合多个经典例题讲解实战用法同时附上完整的 C 代码实现让你彻底吃透巴什博弈的精髓。下面就让我们正式开始吧一、博弈论基础铺垫在正式讲解巴什博弈之前我们先快速梳理博弈论中几个核心概念这是理解所有博弈模型的前提尤其是公平组合游戏ICG的定义巴什博弈正是典型的公平组合游戏。1.1 公平组合游戏 (ICG)公平组合游戏是博弈论中最核心的分类之一满足以下三个关键条件游戏由两名玩家轮流进行决策双方都知晓游戏的全部信息无隐藏规则任意玩家在某一确定游戏状态下能做出的决策集合只与当前状态有关与玩家身份无关双方规则对等游戏以玩家无法行动为判负条件且游戏一定会在有限步内结束不存在平局。简单来说公平组合游戏的核心是规则公平、结果确定不存在运气成分且两名玩家的操作空间完全由当前游戏状态决定。1.2 必胜态与必败态在公平组合游戏中由于玩家都是绝顶聪明的会选择对自己最有利的最优策略因此游戏的每一个状态都有唯一的结果分为两种必胜态当前状态下行动的玩家先手存在至少一种策略使得无论对方如何操作自己最终都能获胜必败态当前状态下行动的玩家先手无论采取何种策略对方都能找到应对方法最终自己一定会失败。博弈论的核心解题思路就是推导游戏初始状态是必胜态还是必败态而推导的关键依据是两个核心性质必胜态的后继状态中至少存在一个必败态先手可以通过操作让对方陷入必败态必败态的后继状态中全部都是必胜态无论先手怎么操作都会让对方进入必胜态。这两个性质是所有博弈模型推导的底层逻辑巴什博弈的结论也正是基于此推导而来。1.3 非公平组合游戏与反常游戏与公平组合游戏相对的是非公平组合游戏其核心区别是玩家在确定状态下的决策集合与玩家身份有关比如中国象棋、围棋、国际象棋双方不能使用对方的棋子这类游戏的解题思路比公平组合游戏复杂得多。反常游戏则是规则与经典游戏一致但胜负判定相反的游戏比如经典 Nim 游戏是取走最后一颗石子获胜而反常 Nim 游戏是取走最后一颗石子判负。巴什博弈也存在反常版本本文重点讲解经典巴什博弈后续会简单提及反常版本的思路。二、巴什博弈 (Bash Game) 核心原理2.1 巴什博弈的经典问题描述巴什博弈的经典场景是取石子游戏规则如下一共有n颗石子两名玩家轮流从石子堆中取石子每次至少取 1 颗最多取k颗拿到最后一颗石子的玩家获胜。问先手玩家是否存在必胜策略这是最标准的巴什博弈模型所有巴什博弈的变种问题都是基于此规则延伸而来。我们的目标就是通过数学推导找到n和k之间的关系直接判断先手的胜负。2.2 核心结论推导结合前文提到的必胜态与必败态的核心性质我们从最简单的情况开始推导逐步找到规律。步骤 1定义基础状态首先定义必败态的基准当石子数n0时当前玩家无石子可取判负因此n0是必败态。步骤 2分析小数值的状态规律假设每次最多取k3颗石子方便举例我们分析n从 1 到 10 的状态n1先手取 1 颗直接获胜 → 必胜态n2先手取 2 颗直接获胜 → 必胜态n3先手取 3 颗直接获胜 → 必胜态n4先手无论取 1/2/3 颗后手都能取走剩下的所有石子比如先手取 1后手取 3先手取 2后手取 2先手取 3后手取 1后手获胜 → 必败态n5先手取 1 颗剩下 4 颗必败态交给后手 → 必胜态n6先手取 2 颗剩下 4 颗必败态交给后手 → 必胜态n7先手取 3 颗剩下 4 颗必败态交给后手 → 必胜态n8先手无论取 1/2/3 颗后手都能取走对应数量让剩下的石子数为 4 颗 → 必败态从这个例子中我们能清晰看到规律当 n 是 k1 的倍数时当前状态为必败态否则为必胜态。对应上面的例子k14n4、8是 4 的倍数均为必败态其余为必胜态。步骤 3通用结论严格证明通过例子找到的规律需要严格证明我们结合必胜态和必败态的核心性质证明巴什博弈的通用结论巴什博弈核心结论对于 n 颗石子、每次取 1~k 颗的取石子游戏若n % (k 1) 0则先手必败若n % (k 1) ! 0则先手必胜。证明过程设m k 1分两种情况讨论情况 1n 是 m 的倍数n t * mt 为正整数当前玩家先手无论取x颗石子1 ≤ x ≤ k剩下的石子数为n - x t*m - x。此时后手玩家只需取m - x颗石子由于1 ≤ x ≤ k则1 ≤ m - x ≤ k符合规则剩下的石子数为(t-1)*m依旧是 m 的倍数。如此反复后手玩家总能让每次操作后剩下的石子数保持为 m 的倍数最终先手玩家会面对nm的状态无论先手取多少后手都能取走最后一颗石子因此n 是 m 的倍数时先手必败必败态。情况 2n 不是 m 的倍数n t * m r1 ≤ r ≤ k当前玩家先手可以直接取r颗石子剩下的石子数为t * m是 m 的倍数将必败态交给后手玩家。此后后手玩家处于必败态无论后手取多少先手都能按照情况 1 的策略让每次操作后剩下的石子数保持为 m 的倍数最终先手取走最后一颗石子因此n 不是 m 的倍数时先手必胜必胜态。至此巴什博弈的核心结论得到严格证明这个结论是解决所有巴什博弈问题的关键只需通过一个取模运算就能直接判断胜负时间复杂度为 O (1)效率极高。2.3 巴什博弈的核心思想巴什博弈的核心是凑数策略先手玩家通过第一次操作让剩下的游戏状态成为必败态而后手玩家无论如何操作都无法摆脱必败态先手玩家只需全程模仿后手的操作节奏始终将必败态交给对方最终获胜。简单来说就是先手创造必败态后手被迫进入必败态这也是所有公平组合游戏的核心解题思路。三、巴什博弈经典例题实战理论结合实践才是掌握算法的关键本节将结合巴什博弈的经典例题从基础模板题到变种题逐一讲解解题思路并附上完整的 C 代码实现所有代码均经过验证可直接用于算法竞赛。3.1 例题 1取石子游戏 1巴什博弈基础模板题题目链接https://ac.nowcoder.com/acm/problem/50614题目来源牛客网信息学奥赛一本通题目描述玩家为 2 人道具为 N 颗石子规则如下双方轮流取石子每人每次取走 1~K 颗石子最少 1 颗最多 K 颗石子取光游戏结束最后取石子的一方获胜。假设两名玩家都非常聪明问最后谁会获胜输入描述输入仅一行两个整数 N 和 K表示石子总数和每次最多取的石子数。输出描述输出仅一行1 表示先手获胜2 表示后手获胜。解题思路这是最标准的巴什博弈模板题直接套用核心结论即可若N % (K1) ! 0先手必胜输出 1若N % (K1) 0后手必胜输出 2。C 代码实现#include iostream using namespace std; int main() { int n, k; cin n k; // 直接套用巴什博弈结论 if (n % (k 1) ! 0) { cout 1 endl; // 先手必胜 } else { cout 2 endl; // 后手必胜 } return 0; }示例测试输入23 3计算23 % (31) 23 %4 3 ≠ 0 → 先手必胜输出1与题目示例一致验证代码正确性。3.2 例题 2RoyOctober 之取石子巴什博弈变种 1题目链接https://www.luogu.com.cn/problem/P4018题目来源洛谷 P4018题目描述共有 n 个石子两人每次只能取p^k个石子p 为质数k 为自然数且p^k ≤ 当前剩余石子数谁取走最后一个石子谁赢。October 为先手问她是否有必胜策略若有输出October wins!否则输出Roy wins!。输入描述第一行一个正整数 T表示测试用例组数第 2~T1 行每行一个正整数 n表示石子个数。输出描述T 行每行输出对应的结果。解题思路这道题看似是新的规则实则是巴什博弈的变种核心是找到必败态的周期通过推导可得出结论当 n 是 6 的倍数时先手必败当 n 不是 6 的倍数时先手必胜。本质上该规则下每次可取的石子数集合决定了k16因此转化为巴什博弈的标准模型直接用 n 对 6 取模即可判断胜负。C 代码实现#include iostream using namespace std; int main() { int T; cin T; while (T--) { int n; cin n; if (n % 6 ! 0) { cout October wins! endl; } else { cout Roy wins! endl; } } return 0; }示例测试输入34914计算4%64≠0 → October wins!9%63≠0 → October wins!14%62≠0 → October wins!输出与题目示例一致验证代码正确性。3.3 例题 3RoyOctober 之取石子 II巴什博弈变种 2题目链接https://www.luogu.com.cn/problem/P4860题目来源洛谷 P4860题目描述共有 n 个石子两人每次只能取p^k个石子p 为质数k0 或 1且p^k ≤ 当前剩余石子数谁取走最后一个石子谁赢。October 为先手问她是否有必胜策略若有输出October wins!否则输出Roy wins!。输入描述第一行一个正整数 T表示测试用例组数第 2~T1 行每行一个正整数 n表示石子个数。输出描述T 行每行输出对应的结果。解题思路这道题是上一题的变种规则中限制了 k 只能为 0 或 1推导后可得核心结论当 n 是 4 的倍数时先手必败当 n 不是 4 的倍数时先手必胜。该规则下k14依旧是巴什博弈的标准模型直接用 n 对 4 取模即可。C 代码实现#include iostream using namespace std; int main() { int T; cin T; while (T--) { int n; cin n; if (n % 4 ! 0) { cout October wins! endl; } else { cout Roy wins! endl; } } return 0; }示例测试输入35714计算5%41≠0 → October wins!7%43≠0 → October wins!14%42≠0 → October wins!四、巴什博弈的延伸与拓展掌握了经典巴什博弈和其变种后我们可以对巴什博弈进行进一步的延伸了解其反常版本和更复杂的组合版本为后续学习更复杂的博弈模型做铺垫。4.1 巴什博弈的反常版本反常巴什博弈的规则与经典版本一致唯一区别是胜负判定相反取走最后一颗石子的玩家判负。对于反常巴什博弈核心结论需要稍作调整一共有 n 颗石子每次取 1~k 颗取走最后一颗石子的玩家判负先手必胜的条件是(n-1) % (k1) ! 0。推导思路反常版本的核心是让对方取走最后一颗石子因此先手玩家需要让剩下的石子数为 1 时交给对方操作。此时问题转化为先手玩家需要将 n-1 颗石子的经典巴什博弈必败态交给对方因此只需对n-1套用经典巴什博弈的结论即可。4.2 巴什博弈与其他博弈模型的组合在算法竞赛中纯巴什博弈的题目相对简单更多的是将巴什博弈与其他博弈模型如 Nim 博弈、SG 函数结合形成更复杂的组合博弈问题。比如多堆石子的巴什博弈有 m 堆石子第 i 堆有n_i颗石子两名玩家轮流操作每次选择一堆石子取 1~k 颗取走最后一颗石子的玩家获胜。这类问题的解题思路是对每堆石子判断巴什博弈的状态再结合 Nim 博弈的异或规则最终判断整体的胜负核心是将巴什博弈的状态转化为 Nim 博弈中的堆值再进行异或运算。在下期博客中我将为大家介绍Nim博弈的相关内容。4.3 巴什博弈的解题技巧总结无论是经典巴什博弈还是其变种解题的核心技巧都可以总结为以下 3 步分析游戏规则确定玩家的操作空间每次能取的石子数范围推导必败态的周期找到k1的取值即必败态的间隔套用巴什博弈结论通过取模运算直接判断先手的胜负。对于变种问题关键是将非标准规则转化为巴什博弈的标准模型找到必败态的周期这需要通过小数值推导或打表找规律实现比如洛谷的 RoyOctober 取石子问题可通过打表找到 6 和 4 的周期。五、巴什博弈的学习意义与后续拓展巴什博弈作为博弈论的入门模型虽然简单但蕴含着博弈论的核心思想 ——必胜态与必败态的推导掌握巴什博弈的解题思路能帮助我们建立博弈论的思维方式为后续学习更复杂的博弈模型打下基础。从巴什博弈出发后续可以逐步学习以下博弈论模型Nim 博弈多堆石子的经典公平组合游戏核心是异或运算是巴什博弈的多堆拓展阶梯型 Nim 博弈Nim 博弈的变种将石子分布在阶梯上核心是只考虑奇数台阶的异或SG 函数博弈论的通用解决方案将所有公平组合游戏转化为有向图游戏通过 mex 运算求解 SG 值再结合异或规则判断胜负威佐夫博弈另一种经典的公平组合游戏基于两堆石子的取石子规则核心是黄金分割数。这些博弈模型都是在巴什博弈的基础上延伸而来掌握巴什博弈的核心思想后学习后续模型会事半功倍。总结本文从博弈论的基础概念出发详细讲解了巴什博弈的核心原理、结论推导并结合三道经典例题讲解了实战用法同时附上了完整的 C 代码实现还对巴什博弈的反常版本、变种问题和解题技巧进行了总结。巴什博弈的核心结论非常简单就是一个取模运算但推导结论的过程比结论本身更重要因为这个过程蕴含了博弈论的核心思维 —— 必胜态与必败态的推导。在算法竞赛中真正的难点不是套用结论而是将非标准的游戏规则转化为巴什博弈或其他博弈模型的标准模型这需要大量的练习和思考。希望本文能帮助你彻底吃透巴什博弈为你打开博弈论的大门。后续我会继续讲解 Nim 博弈、SG 函数等更复杂的博弈模型关注我一起玩转算法竞赛的博弈论