目录1 马尔科夫模型2 隐马尔科夫模型2 贝叶斯定理3 KF3.1 状态预测3.2 利用测量修正状态3.2.1 两个独立高斯分布相乘3.2.2 状态修正3.3 KF图解和公式总结3.3.1 预测3.3.2 更新在现实世界中任何测量都伴随着噪声和不确定性。无论是追踪卫星轨迹、预测经济指标还是实现自动驾驶汽车的精准定位我们都需要一种方法从杂乱的数据中提取出真实的信号。卡尔曼滤波Kalman FilterKF正是为解决这一问题而诞生的强大工具。KF是一种高效率的递归滤波器自回归滤波器它能够从一系列的不完全及包含噪声的测量中估计动态系统的状态。1 马尔科夫模型‌ 马尔科夫模型‌Markov Model是一种基于概率的统计模型其核心特性是“无后效性”——即系统在某一时刻的状态仅依赖于前一时刻的状态而与更早的历史状态无关 。这种性质被称为‌马尔可夫性质‌数学表达式为P(Xₙ₊₁x|X₀,X₁,…,Xₙ) P(Xₙ₊₁x|Xₙ)2 隐马尔科夫模型隐马尔可夫模型‌Hidden Markov Model, HMM是一种统计模型用来描述一个含有隐含未知参数的马尔可夫过程。其核心思想是系统的真实状态无法直接观测但可以通过与这些状态相关的‌可观测事件‌来推断隐藏状态的演变规律 。HMM 被称为“双重随机过程”因为它包含两个层次 ‌隐藏的状态序列‌遵循马尔可夫性质即当前状态只依赖于前一时刻的状态。 ‌可观测的输出序列‌每个观测值由当前隐藏状态以一定概率生成。例如你无法看到外面的天气隐藏状态但可以通过观察隔壁邻居是否跑步、游泳或做健身操可观测行为来推测天气情况 。HMM 通常由以下五个要素构成包括2个状态集合和3个概率矩阵隐含状态集合‌S系统真实但不可见的状态如天气晴天、多云、雨天。可观测状态集合‌O我们可以观察到的输出如某人当天的活动跑步、健身、游泳。初始状态概率矩阵‌π表示模型在初始时刻处于各个隐含状态的概率。状态转移概率矩阵‌A描述隐含状态之间随时间转移的概率如“今天是晴天明天是雨天”的概率。观测概率矩阵‌B描述在某个隐含状态下产生特定观测值的概率如“雨天时某人选择游泳”的概率 。2 贝叶斯定理贝叶斯定理的公式为其中P(A)是‌先验概率‌指在进行试验或获取新信息前对事件 A发生概率的主观估计。P(A∣B)是‌后验概率‌指在已知事件 B发生的情况下事件 A发生的概率是结合新信息修正后的概率。P(B∣A)是似然度指在事件 A发生的条件下事件 B发生的概率。P(B)是标准化常量确保后验概率的总和为1。3 KFKF滤波问题是一个隐马尔科夫模型与贝叶斯定理的联合实现。一般的状态模型可分为状态转移方程和观测方程而状态一般都是无法直接观测到的所以是隐马尔科夫模型。然后它将上一时刻获得的状态信息的后验分布作为新的先验分布利用贝叶斯定理建立一个贝叶斯递推过程从而得到了贝叶斯递推公式。其核心思想基于预测‌和‌更新‌两个步骤‌ ‌预测‌根据系统模型和上一时刻的状态估计当前状态如位置、速度。 ‌更新‌利用当前时刻的实际测量值修正预测值得到更精确的状态估计。KF核心思想就像一位经验丰富的船长他会根据船的当前速度和方向预测结合偶尔看到的灯塔位置有误差的测量在脑海里绘制出最可能的航线。预测给了他连续性测量帮他修正偏差两者结合路线越来越准。以机器人为例介绍卡尔曼滤波的原理我们的任务是要预测机器人的状态x包括位置p与速度v即可表示为某个时刻我们不知道真实的位置与速度到底是多少二者存在一个所有可能性的组合。卡尔曼滤波假设状态所有的变量都是随机的且都服从高斯分布每个变量都有其对应的均值以及方差它代表了不确定性。但是速度和位置是有关系的所以这两个状态量并不是独立的而是具有相关性的。这种状态量的相关性可以由协方差矩阵表示矩阵的每个元素是第i个状态变量和第j个状态变量之间的相关度。3.1 状态预测我们需要估计在时间k时刻的两个信息最优估计以及它的协方差矩阵我们可以写成下面矩阵形式我们需要某种方式来查看当前状态k-1时刻并预测在时刻处k的状态将加度记为a写成矩阵形式是预测矩阵或者叫做状态转移矩阵该矩阵可以帮助我们计算下一个时刻的状态。称为控制矩阵为控制向量。对于没有外部影响的简单系统可以忽略控制项但我们仍然不知道如何更新状态的协方差矩阵其实过程也是很简单如果我们将分布中的每个点乘以矩阵A那么其协方差矩阵将更新为于是协方差矩阵的状态更新为通过在每个预测步骤之后添加一些新的不确定性我们可以对与“世界”相关的不确定性进行建模如我们无法跟踪的事物。这样一来由于新增的不确定性原始估计中的每个状态都可能迁移到多个状态。我们用高斯分布进行建模所以在状态量的协方差中增加额外的协方差。预测阶段完整的状态转移方程为3.2 利用测量修正状态假设我们有几个传感器这些传感器可以向我们提供有关系统状态的信息。就目前而言测量什么量都无关紧要也许一个读取位置另一个读取速度。每个传感器都告诉我们有关状态的一些间接信息换句话说传感器在状态下运作并产生一组测量读数。我们使用矩阵对传感器的测量值进行建模我们期望传感器的值可以被建模成如下形式传感器本身的测量是不准确的且原始估计中的每个状态都可能导致一定范围的传感器读数而KF能够在这些不确定性存在的情况下找到最优的状态。根据传感器的读数我们会猜测系统正处于某个特定状态。但是由于不确定性的存在某些状态比其他状态更可能产生我们看到的读数。我们将这种不确定性如传感器噪声的协方差表示为读数的分布均值等于我们观察到传感器的读数我们将其表示为。这样一来我们有了两个高斯分布一个围绕通过状态转移预测的平均值另一个围绕实际传感器读数。3.2.1两个独立高斯分布相乘我们需要将基于预测状态的推测读数与基于实际观察到的传感器读数进行融合。两个独立的高斯分布相乘之后会得到一个新的具有其均值和协方差矩阵的高斯分布。新的高斯分布的均值和方差如下所示我们将其中的一小部分重写为k将其写为矩阵形式其中K就是大名鼎鼎的“卡尔曼增益”Kalman gain。3.2.2 状态修正我们有两个高斯分布一个是我们预测的观测另外一个是实际的观测值传感器读数。这两个高斯分布的重叠区域为卡曼增益为消去多余的参数可得3.3 KF图解和公式总结其中x代表的是状态向量(不可观察)、z是测量向量可观察、P是状态协方差矩阵。卡尔曼滤波的目标是基于上一时刻的状态向量和状态协方差矩阵预测当前时刻的状态向量和状态协方差矩阵并基于测量向量对状态向量和状态协方差矩阵进行更新。3.3.1 预测基于时间的更新方程3.3.2 更新基于测量的更新方程​KF能够准确地对任何线性系统建模。对于非线性系统我们使用扩展卡尔曼滤波器该滤波器通过简单地线性化预测和测量值的均值进行工作。[1]. 图解卡尔曼滤波(Kalman Filter)[2]. 卡尔曼滤波器简明解释